G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
4.25. Esercizio. Si controlli che ogni v ∈ G 1 (Ω) è analitica se Ω è un intervallo di R . Si
consiglia di usare la formula di Taylor con il resto di Lagrange.
4.26. Esempio. Sia Ω il disco unitario aperto del piano complesso e si denoti con H(Ω) lo
spazio delle funzioni v : Ω → C olomorfe. Si definiscano in H(Ω) le seminome
e si considerino le due famiglie
|v|n,r = sup |v
|z|≤r
(n) (z)| per v ∈ H(Ω) , r ∈ (0, 1) e n = 0, 1, , . . .
F0 = {| · |0,r : 0 < r < 1} e F = {| · |n,r : 0 < r < 1, n = 0, 1, . . .}.
Si dimostri che queste generano in H(Ω) la stessa topologia e rendono H(Ω) spazio di Fréchet. Si
tenga conto delle formule di Cauchy
v (n) (z) = n!
�
v(ζ)
dζ per |z| ≤ r < R < 1 e n = 0, 1, . . .
2πi (ζ − z) n+1
CR
ove CR è la circonferenza di centro 0 e raggio R percorsa in senso antiorario.
Dopo questa carrellata di spazi la cui definizione è legata alla continuità o alla differenziabilità,
vediamo spazi localmente convessi legati agli spazi Lp .
4.27. Esempio. Siano Ω un aperto di Rd e p ∈ [1, +∞] . Con L p
loc (Ω) si denota lo spazio
delle (classi di) funzioni v : Ω → K misurabili tali che v|K ∈ Lp (K) per ogni compatto K ⊂ Ω .
Una condizione equivalente è la seguente: la funzione misurabile v appartiene a L p
loc (Ω) quando
ogni punto di Ω ha un intorno I (misurabile) tale che v|I ∈ Lp (I) . La famiglia di seminorme
F = {| · |p,K : K ⊂ Ω compatto}
rende L p
loc (Ω) spazio di Fréchet e la dimostrazione di questo fatto è perfettamente analoga a quella
svolta nel caso dello spazio C0 (Ω) . Le disuguaglianze
|v|p,K ≤ �v� L p (Ω) e |v|p,K ≤ |Ω| (1/p)−(1/q) |v|q,K se 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞
(ove |Ω| è la misura di lebesgue di Ω ) mostrano che le immersioni Lp (Ω) ⊆ L p
loc (Ω) e, se p ≤ q ,
L q
loc (Ω) ⊆ Lp
loc (Ω) sono continue. In particolare tutti gli spazi Lp (Ω) e L p
loc (Ω) sono immersi con
(Ω) , che è il più grande spazio funzionale di uso corrente.
continuità in L 1 loc
4.28. Esercizio. Dimostrare che la topologia di L p
loc (Ω) non è indotta da alcuna norma.
4.29. Esercizio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e p ∈ [1, +∞] .
V =
Si ponga
�
1≤p