G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

4.21. Esempio (spazio di L. Schwartz). Si consideri l’analogo spazio
Spazi localmente convessi
S(R d ) = {v ∈ C ∞ (R d ) : D α v(x) = o(|x| −λ ) per |x| → +∞ per ogni α e ogni λ > 0 }
con la famiglia di seminorme
F = {| · |α,λ : α multi-indice qualunque, λ > 0 } ove |v|α,λ = sup
x∈R d(1 + |x|λ )|D α v(x)|.
Allora S(R d ) è uno spazio di Fréchet immerso con continuità in C ∞ (R d ) . Lo spazio di Schwartz
S(R d ) è importante nella teoria delle trasformate di Fourier e nella teoria delle distribuzioni.
4.22. Esercizio. Si dimostri quanto è affermato nell’esempio precedente.
4.23. Esercizio. Sia Ω un aperto di Rd . Per L > 0 e s > 0 si denoti con Gs L (Ω) l’insieme
delle funzioni v ∈ C∞ (Ω) verificanti la condizione seguente: per ogni compatto K ⊂ Ω esiste una
costante M ≥ 0 tale che
|D α v(x)| ≤ ML |α| (α!) s per ogni x ∈ K e ogni multi-indice α (4.7)
ove α! = α1! · . . . · αd! per α = (α1, . . . , αd) . Si verifichi che Gs L (Ω) è un sottospazio vettoriale
di C∞ (Ω) . Si verifichi inoltre che, per ogni compatto K ⊂ Ω , la formula
�
�
|v|K,s,L = sup
α
L −|α| (α!) −s sup |D
K
α v|
per v ∈ Gs L (Ω) (4.8)
(l’estremo superiore essendo calcolato al variare dei multi-indici di ogni ordine) definisce una seminorma
in Gs L (Ω) (il cui valore coincide con la minima delle costanti M ≥ 0 che rendono vera
la (4.7)). Si dimostri infine che Gs L (Ω) diventa uno spazio di Fréchet rispetto alla famiglia costituita
dalle seminorme (4.8) al variare del compatto K ⊂ Ω .
4.24. Osservazione. Di particolare interesse nelle applicazioni alle equazioni alle derivate
parziali sono i cosiddetti spazi del tipo di Gevrey di ordine s , i quali hanno una struttura “naturale”
di spazi localmente convessi che, tuttavia, non è semplice da descrivere in termini di esplicite
seminorme, per cui soprassediamo. Due di questi sono gli spazi G s (Ω) e D s (Ω) che ora definiamo
e che, di solito, sono presi in considerazione solo per s > 1 . Lo spazio G s (Ω) è l’unione degli spazi
G s L (Ω) al variare di L > 0 e Ds (Ω) è il sottospazio delle funzioni v ∈ G s (Ω) a supporto compatto.
Tuttavia si può pensare di accettare le definizioni precedenti per ogni s > 0 . Se così ci si comporta,
si dimostra che le funzioni appartenenti a G 1 (Ω) sono tutte e sole le funzioni analitiche in Ω , cioè
le funzioni v ∈ C ∞ (Ω) che godono della proprietà seguente: ogni punto x0 ∈ Ω ha un intorno
I ⊆ Ω tale che la serie di Taylor di v di centro x0 converge a v(x) per ogni x ∈ I . Ne segue
che, se s ∈ (0, 1) , gli elementi di G s (Ω) verificano una sorta di super-analiticità e che D s (Ω) è
significativo solo per s > 1 . Infatti, per s ≤ 1 , lo spazio D s (Ω) si riduce alla funzione nulla. Se
invece s > 1 , lo spazio G s (Ω) contiene funzioni non analitiche e il valore del parametro s diventa
una sorta di misura della non-analiticità.
Segnaliamo che, se Ω = R n × R e se denotiamo con (x, t) la variabile in Ω , appartiene allo
spazio G 2 (Ω) la cosiddetta soluzione fondamentale dell’operatore del calore ∂/∂t − ∆ (ove ∆ è il
laplaciano in R n ) data dalla formula
E(x, t) = (4πt) −n/2 e −|x|2 /(4t)
se t > 0 e E(x, t) = 0 se t ≤ 0 . (4.9)
Questa consente di costruire, per una vasta classe di dati iniziali u0 : Rn → R , la soluzione del
problema di Cauchy per l’equazione del calore
∂u
∂t − ∆u = 0 in Rn × (0, +∞) e u( · , 0) = u0 in Rn (4.10)
mediante la formula
�
u(x, t) = E(x − y, t) u0(y) dy per (x, t) ∈ Rn × (0, +∞)
R n
nonché, tramite una formula più complessa, la soluzione dell’analogo problema relativo all’equazione
non omogenea, cioè con secondo membro generico anziché nullo nella prima delle (4.10).
Analisi Funzionale
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