G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
4.15. Esercizio. Verificare le immersioni continue C ∞ (Ω) ⊆ C k (Ω) per ogni k e dimostrare
che la topologia in C ∞ (Ω) è la meno fine fra quelle che rendono continue tutte le immersioni dette.
4.16. Osservazione. Nemmeno la topologia di C ∞ (Ω) è indotta da una norma, ma il discorso
dell’Osservazione 4.13 non funziona in questo caso. Infatti una famiglia di seminorme che genera
la stessa topologia è data da
F = {� · �k,∞ : k = 0, 1, . . .} ove � · �k,∞ è la norma in C k (Ω) .
Ora nessun intorno dell’origine della base standard associata a F può contenere un sottospazio
di dimensione positiva in quanto ciascuna delle seminorme di F è in realtà una norma. Occorre
allora procedere diversamente. Ragionando per assurdo, supponiamo che esista una norma � · �
che induce la topologia. Applicando due volte il Corollario 1.14, vediamo, da un lato, che esistono
una costante M ≥ 0 e un intero k ≥ 0 tali che �v� ≤ M�v�k,∞ per ogni v ∈ C ∞ (Ω) e, d’altro
canto, che per ogni multi-indice α esiste una costante Mα tale che �D α v�∞ ≤ Mα�v� per ogni
v ∈ C ∞ (Ω) . Combinando otteniamo
�D α v�∞ ≤ MMα�v�k,∞ per ogni v ∈ C ∞ (Ω)
e ora mostriamo che ciò non è possibile. Si definiscano infatti le funzioni vn ∈ C ∞ (Ω) mediante
la formula vn(x) = n −k sin nx1 ove x1 è la prima coordinata di x . Allora �D α vn�∞ ≤ 1 per
ogni α verificante |α| ≤ k , per cui la norma �vn�k,∞ si mantiene limitata. Se invece prendiamo
α = (k + 1, 0, . . . , 0) abbiamo �D α vn�∞ = n e la disuguaglianza trovata viene contraddetta.
4.17. Osservazione. Un altro modo di vedere che la topologia di C ∞ (Ω) non è indotta da
alcuna norma si basa sul Teorema IV.3.13 di Ascoli (si vedano le osservazioni fatte in proposito)
e vale se Ω è regolare. Dimostriamo infatti che ogni limitato di C ∞ (Ω) è relativamente compatto,
il che è incompatibile con il fatto che C ∞ (Ω) sia uno spazio normato, dato che è di dimensione
infinita (Teorema IV.3.4). Sia B un insieme limitato di C ∞ (Ω) (si vedano la (2.1) e gli esercizi
collegati). Allora tutte le seminorme (4.6) si mantengono limitate su B . Segue che, per ogni multiindice
α , l’insieme D α B = {D α v : v ∈ B} è limitato in C 0 (Ω) . In particolare, per ogni α , sono
limitati in C 0 (Ω) sia l’insieme D α B sia quello costituito dalle derivate prime dei suoi elementi.
Deduciamo che D α B è anche equicontinuo. Per il Teorema di Ascoli esso è quindi relativamente
compatto in C 0 (Ω) . Dunque, per ogni successione {vn} di elementi di B e per ogni α , dalla successione
{D α vn} si può estrarre una sottosuccessione convergente uniformemente. Ciò premesso,
sia {vn} una successione di elementi di B . Numerati tutti i multi-indici in modo da produrne
una successione, con il procedimento diagonale di Cantor si arriva a costruire una sottosuccessione
{vnk } convergente uniformemente e tale che {Dα vnk } (dunque con gli stessi indici nk della succes-
sione {vnk } ) converga uniformemente per ogni multi-indice α . Concludiamo che {vnk } converge
nella topologia di C∞ (Ω) .
4.18. Esercizio. Adattare il discorso appena fatto per mostrare che la stessa cosa vale per
C ∞ (Ω) : ogni suo sottoinsieme limitato è relativamente compatto. Si prenda una successione {Ωm}
di aperti regolari ben contenuti in Ω che invade Ω (Esercizio 4.2) in modo che sia numerabile
l’insieme delle coppie (Ωm, α) da considerare nell’applicazione del metodo diagonale di Cantor.
4.19. Esercizio. Sia B un limitato di C 0 (Ω) . Si dimostri che B è relativamente compatto se
e solo se ogni x0 ∈ Ω ha un intorno I ⊆ Ω tale che sia equicontinuo l’insieme delle restrizioni a I
degli elementi di B . Si dimostri che ogni limitato di C 1 (Ω) è relativamente compatto in C 0 (Ω) .
4.20. Esercizio. Sia
V = {v : R d → K continue tali che v(x) = o(|x| −λ ) per |x| → +∞ per ogni λ > 0 }.
Si dimostri che la famiglia di seminorme
F = {| · |λ : λ > 0} ove |v|λ = sup
x∈R d(1 + |x|λ )|v(x)|
rende V spazio di Fréchet immerso con continuità in C 0 (R d ) .
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Gianni Gilardi