G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
Si noti che la convergenza indotta vn → v significa
vn → v uniformemente su ogni compatto K ⊂ Ω . (4.4)
Essa è detta anche convergenza localmente uniforme in quanto una formulazione equivalente è: ogni
punto di Ω ha un intorno in cui {vn} converge a v uniformemente. Infatti, se vale la (4.4), fissato
x ∈ Ω , basta prendere un intorno compatto di x per avere la convergenza uniforme in tale intorno.
Viceversa, supponendo che ogni punto abbia un intorno in cui {vn} converge a v uniformemente,
fissato il compatto K ⊂ Ω , applicata l’ipotesi a ogni punto di K ed estratta una famiglia finita di
intorni che ancora ricopre K in ciascuno dei quali c’è convergenza uniforme, si deduce che {vn}
converge a v uniformemente in K .
Dimostriamo che C 0 (Ω) è uno spazio di Fréchet. Innanzi tutto la famiglia F è ovviamente
separata, per cui otteniamo uno spazio localmente convesso. Vediamo che esso è metrizzabile.
Grazie al Teorema 2.15, basta costruire una famiglia F ′ numerabile di seminorme che induce la
stessa topologia. Fissiamo una successione che {Ωm} di aperti ben contenuti in Ω che invade Ω ,
poniamo Km = Ωm e consideriamo la famiglia numerabile F ′ = {| · |∞,Km : m ≥ 1} . Dimostriamo
che la topologia T generata da F coincide con la topologia T ′ generata da F ′ controllando la
condizione data dal Corollario 1.14. Ogni seminorma di F ′ è anche una seminorma di F . D’altra
parte, fissata ad arbitrio una seminorma di F , cioè la seminorma | · |∞,K corrispondente a un certo
compatto K , se m è dato dalla (4.2), abbiamo |v|∞,K ≤ |v|∞,Km per ogni v ∈ C 0 (Ω) . Dunque
le due famiglie generano la stessa topologia.
Dimostriamo infine la completezza. Se {vn} è una successione di Cauchy, allora, per ogni
compatto K ⊂ Ω , la successione {vn|K} delle restrizioni a K è di Cauchy nello spazio C(K)
(vedi l’Esempio I.5.4 e il Corollario II.2.2), dunque convergente uniformemente in K a una certa
funzione uK . Ma siccome la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale e l’unione
di tali compatti è tutto Ω per la (4.2), la successione data converge puntualmente in Ω a una
funzione u : Ω → K della quale ciascuna delle uK è necessariamente una restrizione. Siccome
tutte le uK sono continue, anche u è continua. Infine, per ogni compatto K ⊂ Ω , abbiamo
limn→∞ |vn − u|∞,K = 0 , cioè vn → u nel senso della topologia considerata.
4.4. Osservazione. Anziché i compatti Kn avremmo potuto prendere gli aperti Ωn definendo
le seminorme | · |∞,Ωn corrispondenti. Nella completezza ci saremmo appoggiati all’Esempio I.5.5
anziché all’Esempio I.5.4. Nella sostanza nulla sarebbe cambiato dato che |v|∞,Ωn = |v|∞,Kn per
ogni v ∈ C 0 (Ω) e per ogni n , ma avremmo fatto riferimento sempre ad aperti (con chiusura
compatta) anziché a compatti.
4.5. Esercizio. Dimostrare che se l’aperto Ω è limitato C 0 (Ω) è incluso in C 0 (Ω) con immersione
continua. Di fatto tutti gli spazi di funzioni continue o regolari che introdurremo nel corso
del paragrafo sono inclusi in C 0 (Ω) con immersione continua (il lettore verifichi).
4.6. Esercizio. Sia Ω un aperto limitato di R d e si consideri lo spazio C 0 c (Ω) delle funzioni
v : Ω → K continue a supporto compatto (vedi Definizione I.5.49). Osservato che C 0 c (Ω) è un
sottospazio vettoriale sia di C 0 (Ω) sia di C 0 (Ω) , si dimostri che esso è denso nel primo spazio ma
non nel secondo. Per dimostrare la densità si consiglia di utilizzare la successione {ζm} costruita
(ad esempio) con la formula ζm(x) = (1 − 2m dist(x, Ωm)) + a partire dalla successione (4.1).
4.7. Esempio. Consideriamo lo spazio C k (Ω) delle funzioni v : Ω → K di classe C k , ove Ω è
un aperto di R d . La famiglia di seminorme è ora data da
F = {| · |α,∞,Ω ′ : Ω′ ben contenuto in Ω e |α| ≤ k } ove |v|α,∞,Ω ′ = |Dαv|∞,Ω ′ (4.5)
con notazione analoga alla (4.3) e dunque induce la convergenza localmente uniforme delle funzioni
e delle loro derivate fino all’ordine k . Anche C k (Ω) è uno spazio di Fréchet, come ora vediamo,
anche se in modo più succinto.
Come nel caso precedente e tenendo conto dell’Osservazione 4.4, se si sostitisce la famiglia
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Gianni Gilardi