G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
della base standard associata alla famiglia di seminorme (3.2). Una base di intorni di f nel prodotto
topologico P si ottiene prendendo tutti i possibili prodotti cartesiani �
x∈V Ax sotto le due condizioni:
i) Ax = {y ∈ Ix : |y − f(x)| < rx} con un certo rx > 0 per un numero finito di valori di x ; ii) Ax = Ix
per tutti gli x restanti. Dunque l’intersezione fra B ∗ e il generico intorno della base considerata del prodotto
si scrive come {g ∈ B ∗ : |g(xi) − f(xi)| < ri, i = 1, . . . , n} ove n , i punti x1, . . . , xn ∈ V e i numeri
reali r1, . . . , rn > 0 sono fissati. Ma questo differisce dall’intersezione fra B ∗ e il generico intorno della
base standard associata alla famiglia di seminorme (3.2) solo per il fatto che in quel caso i raggi ri sono
tutti uguali, per cui le due famiglie sono basi di intorni della stessa topologia. Per verificare il punto b) ,
supponiamo che f ∈ P appartenga alla chiusura di B ∗ nel prodotto topologico P . Fissiamo x, y ∈ V ,
α, β ∈ K e ε > 0 e consideriamo l’insieme I = {g ∈ P : |g(z) − f(z)| < ε per z = x, y, αx + βy} . Siccome
I è un intorno di f nella topologia prodotto, esso contiene un elemento g ∈ B ∗ . Abbiamo pertanto
|f(αx + βy) − αf(x) − βf(y)| = |f(αx + βy) − g(αx + βy) + αg(x) + βg(y) − αf(x) − βf(y)|
≤ |f(αx + βy) − g(αx + βy)| + |α| |g(x) − f(x)| + |β| |g(y) − f(y)| < (1 + |α| + |β|) ε.
Dall’arbitrarietà di ε segue f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) . Dunque f ∈ B ∗ e B ∗ è chiuso.
3.24. Osservazione. Ci si può chiedere se ci sia un legame abbastanza stretto fra il teorema
precedente e il Teorema V.6.6 di compattezza debole* sequenziale. Tale legame effettivamente c’è e
il motivo è il seguente: se V è separabile e B ∗ è, come sopra, la palla unitaria chiusa di V ∗ , allora
la topologia indotta su B ∗ dalla topologia debole* è metrizzabile (mentre l’intero spazio V ∗ non
lo è, se non nel caso banale della dimensione finita). D’altra parte B ∗ , che è compatta rispetto alla
topologia debole* per il teorema precedente, è chiusa anche rispetto a tale topologia, in quanto ogni
compatto è chiuso se la topologia ambiente è di Hausdorff. In particolare, se V è separabile, B ∗ è
compatta se e solo se è sequenzialmente compatta. Cogliamo l’occasione per segnalare un’altra
conseguenza della metrizzabilità enunciata sopra: se V è separabile, una funzione f : B ∗ → Y a
valori in uno spazio topologico Y è continua rispetto alla topologia indotta su B ∗ dalla topologia
debole* di V ∗ se e solo se essa è continua per successioni. Tenendo conto del Lemma 3.10 abbiamo
allora: se V è riflessivo e separabile, una funzione f : B → Y dalla palla unitaria chiusa B di V
in uno spazio topologico Y è continua rispetto alla topologia indotta su B dalla topologia debole
di V se e solo se essa è continua per successioni.
Il risultato successivo riguarda la compattezza della palla unitaria chiusa dello spazio di
partenza e stabilisce uno stretto legame fra tale compattezza e la riflessività dello spazio ambiente.
Tuttavia non dimostreremo completamente il teorema. Lasceremo infatti senza giustificazione il
lemma (di Goldstein). Una sua dimostrazione si fonda sulla possibilità di estendere le forme geometriche
del Teorema di Hahn-Banach agli spazi localmente convessi.
3.25. Lemma. Siano V uno spazio normato, B la palla chiusa unitaria di V e B ∗∗ la palla
chiusa unitaria di V ∗∗ . Allora l’immagine J(B) tramite l’iniezione canonica J : V → V ∗∗ è densa
in B ∗∗ rispetto alla topologia debole*.
3.26. Teorema (di Kakutani). Sia V uno spazio di Banach. Allora la palla unitaria chiusa
B di V è compatta rispetto alla topologia debole se e solo se V è riflessivo.
Dimostrazione. Seguiamo le notazioni del Lemma 3.25. Supponiamo V riflessivo. La Proposizione 3.10
implica che J|B è un omeomorfismo di B su B ∗∗ quando i due insiemi sono muniti delle topologie indotte
dalla topologia debole di V e, rispettivamente, dalla topologia debole* di V ∗∗ . Siccome B ∗∗ è compatta
rispetto a quest’ultima per il Teorema 3.23 applicato a V ∗ , segue che B è compatta nella topologia debole.
Supponiamo ora B compatta nella topologia debole. Allora, sempre per la Proposizione 3.10, J(B) è
compatta rispetto alla topologia indotta dalla topologia debole* di V ∗∗ . Ma tale topologia è separata, per
cui J(B) è un chiuso e, di conseguenza, coincide con la sua chiusura, cioè con B ∗∗ grazie al Lemma 3.25.
Dunque J(B) = B ∗∗ . Sia ora F ∈ V ∗∗ non nullo. Allora F/�F �∗∗ ∈ B ∗∗ . Quindi F/�F �∗∗ ∈ J(B) ,
cioè esiste x ∈ B tale che F/�F �∗∗ = Jx . Segue F = �F �∗∗ Jx = J(�F �∗∗ x) e dunque F ∈ J(V ) . Ciò
mostra che J : V → V ∗∗ è suriettivo e che V è riflessivo.
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Gianni Gilardi