G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

n=1
Norme e prodotti scalari
5.30. Esempio (spazi “elle piccolo”). Specializziamo lo spazio di misura prendendo come
Ω l’insieme degli interi positivi e come µ la misura che conta definita per tutti i sottoinsiemi
di Ω . Abbiamo dunque µ(A) = n se A ⊆ Ω ha n ≥ 0 elementi e µ(A) = +∞ se A è infinito.
Allora le (classi di) funzioni misurabili coincidono con le successioni {xn} di elementi di K . In
tali condizioni, per p ∈ [1, +∞] , lo spazio Lp (Ω) si denota con ℓp . Si noti che ℓ∞ è lo spazio
delle successioni limitate e che la norma e la disuguaglianza di Hölder diventano
��∞ �{xn}�p = |xn|
n=1
p� 1/p
se p è finito e �{xn}�∞ = sup |xn|
n
� ∞� �
� �
� xnyn�
≤ �{xn}�p�{yn}�p ′ per 1 ≤ p ≤ +∞.
Se poi Ω ha n elementi e µ è la misura che conta, allora L p (Ω) può essere identificato a K n , nel
quale vengono definite nuove norme, precisamente
��n |x|p = |xi| p� 1/p
se x = (x1, . . . , xn) (5.17)
i=1
tutte equivalenti fra loro. Anche in questi casi potremmo introdurre pesi: ciò corrisponde a prendere,
anziché la misura che conta, una misura rispetto alla quale tutti i punti hanno misura positiva
e finita ma non necessariamente unitaria.
5.31. Esercizio. Siano p, q ∈ [1, +∞] tali che p < q . Si dimostri che ℓp ⊆ ℓq con immersione
continua. Per semplificare la dimostrazione può servire l’uso della disuguaglianza (5.10) di
interpolazione.
5.32. Esercizio. Si consideri la norma �n i=1 2i |xi| in Kn come caso particolare di L
e si veda lo spazio normato ottenuto
p (Ω) .
5.33. Esercizio. Sia V lo spazio delle successioni x = {xn} tali che � ∞
n=1 n|xn| 2 < +∞ . Si di-
mostri che la formula �x� 2 = � ∞
n=1 n|xn| 2 definisce una norma che rende V spazio prehilbertiano.
Si verifichi che V ⊂ ℓ 2 con immersione continua. Si controlli infine che V è denso in ℓ 2 .
5.34. Esercizio. Si dimostri che i sottospazi (c) e (c0) di ℓ ∞ costituiti rispettivamente dalle
successioni convergenti e dalle successioni infinitesime sono chiusi in ℓ ∞ .
Negli esempi precedenti abbiamo incontrato spazi L p di dimensione finita e spazi L p di dimensione
infinita. Alla questione della dimensione una risposta esauriente è data dal teorema che
presentiamo, nell’enunciato del quale resta inteso che L p (Ω) è visto come spazio vettoriale e non
come spazio normato. Premettiamo una definizione.
5.35. Definizione. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura. Un sottoinsieme misurabile ω ⊆ Ω è
detto atomo quando verifica 0 < µ(ω) < +∞ e non esiste alcuna partizione di ω in due insiemi
misurabili entrambi di misura positiva.
Nel caso degli spazi visti nell’Esempio 5.30, gli atomi sono gli insiemi costituiti da un solo
punto. Un esempio diverso è il seguente. Sia Ω = R . Definiamo la famiglia M dei sottoinsiemi
misurabili dicendo che ω ⊆ R è misurabile se e solo se si verifica una delle situazioni seguenti:
ω non interseca [0, 1] né [2, 3] ; ω include [0, 1] e non interseca [2, 3] ; ω include [2, 3] e
non interseca [0, 1] ; ω include sia [0, 1] sia [2, 3] . Definiamo la misura µ : M → R dicendo
che µ(ω) vale 0 , 1 , 1 e 2 rispettivamente nei casi elencati. Allora sono atomi, ad esempio, gli
insiemi [0, 1] , (−∞, 1] e [2, +∞) , mentre [0, +∞) e (4, +∞) non lo sono.
5.36. Teorema. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito. Allora si danno solo i tre casi
seguenti: i) µ(Ω) = 0 e L p (Ω) = {0} per ogni p ∈ [1, +∞] ; ii) esiste una partizione di Ω in
un numero finito m ≥ 1 di atomi e, per p ∈ [1, +∞] , lo spazio L p (Ω) è uno spazio di dimensione
m indipendente da p ; iii) per ogni p ∈ [1, +∞] lo spazio L p (Ω) ha dimensione infinita e, se
p �= q , si ha L p (Ω) �= L q (Ω) .
Analisi Funzionale
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