G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi localmente convessi
spazio W = D ′ (Ω) delle distribuzioni su Ω (si veda l’Osservazione I.5.66). Infatti esso è uno
spazio vettoriale topologico nel quale L p (Ω) è immerso con continuità anche rispetto alla topologia
debole di L p (Ω) . Tuttavia non possiamo andare oltre queste parole.
Riprendiamo invece l’inizio dell’osservazione: un modo per individuare un possibile candidato è
ipotizzare una convergenza q.o. Supponiamo dunque {un} limitata in W k,p (Ω) e convergente q.o.
a una funzione misurabile w . Ancora è vero, sempre nell’ipotesi p ∈ (1, +∞) , che w ∈ W k,p (Ω)
e che un ⇀ w in W k,p (Ω) , come ora dimostriamo. Innanzi tutto la successione data ha una
sottosuccessione convergente debolmente in W k,p (Ω) a una certa funzione u ∈ W k,p (Ω) . Questa
stessa sottosuccessione, però, converge a w q.o. Per la Proposizione IV.4.19, deduciamo che u = w .
In particolare w ∈ W k,p (Ω) . Per dimostrare che tutta la successione converge debolmente a w
basta applicare la Proposizione A.1.9 e rifare il ragionamento appena fatto a partire dalla generica
sottosuccessione.
3.21. Esercizio. Mostrare che il caso p = 1 va effettivamente escluso nelle considerazioni
precedenti, almeno nel caso Ω = (−1, 1) , seguendo la traccia seguente. i) La successione data
dalla formula un(x) = tanh nx è limitata in W 1,1 (Ω) e converge q.o. a sign , la funzione segno;
ii) quest’ultima non appartiene a W 1,1 (Ω) ; iii) un ⇀ sign in L 1 (Ω) ; iv) concludere che {un}
non può convergere debolmente in W 1,1 (Ω) a nessun elemento di W 1,1 (Ω) .
La continuità degli elementi di V ∗ rispetto alla topologia debole ha conseguenze importanti in
Analisi Convessa. Abbiamo infatti il risultato seguente:
3.22. Proposizione. Sia V uno spazio normato. Siano inoltre C un convesso chiuso di V e
f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa s.c.i. Allora: i) C è chiuso anche nella topologia
debole; ii) f è s.c.i. anche rispetto alla topologia debole.
Dimostrazione. Per dimostrare i) , basta applicare il Corollario V.9.13. Passiamo a ii) . La semicontinuità
da provare coincide con il fatto che epi f sia chiuso nella topologia debole grazie al Teorema V.10.10
e lo stesso teorema assicura che epi f è chiuso rispetto alla topologia forte dato che f è s.c.i. Siccome f è
convessa, epi f è un sottoinsieme convesso di V × R . Per concludere, basta allora applicare il punto i) al
convesso epi f .
Passiamo ai risultati di compattezza annunciati. Questi non sono deducibili dai risultati di
compattezza sequenziale dimostrati precedentemente dato che, se non siamo nel caso banale della
dimensione finita, le topologie debole di V e debole* di V ∗ non sono mai metrizzabili.
3.23. Teorema (di Banach-Alaoglu-Bourbaki). Sia V uno spazio normato. Allora la palla
unitaria chiusa B ∗ di V ∗ è compatta rispetto alla topologia debole*.
Dimostrazione. Rappresentiamo B∗ in una forma conveniente. Gli elementi f ∈ B∗ sono tutti e soli i
funzionali f : V → K che verificano le due condizioni: i) |f(x)| ≤ �x� per ogni x ∈ V ; ii) f(αx + βy) =
αf(x) + βf(y) per ogni x, y ∈ V e α, β ∈ K . Denotiamo per comodità con P l’insieme dei funzionali
f : V → K verificanti i) e, per x ∈ V , poniamo Ix = {λ ∈ K : |λ| ≤ �x�} , cioè l’intervallo [−�x�, �x�]
se K = R e il disco di centro 0 e raggio �x� se K = C . Osserviamo ora che K è l’unione degli insiemi
Ix ottenuta al variare di x ∈ V . Dunque gli elementi di P sono esattamente le funzioni di scelta associate
alla famiglia {Ix : x ∈ V } , cioè gli elementi del prodotto cartesiano �
x∈V Ix . Quindi P = �
x∈V Ix e di
conseguenza
B ∗ = {f ∈ P : f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) per ogni x, y ∈ V e α, β ∈ K }.
Ma se muniamo P della topologia prodotto delle topologie euclidee degli insiemi Ix , siccome ciascuno degli
Ix è compatto, anche P è compatto per il Teorema A.1.23 di Tychonoff. D’altra parte, ogni chiuso di
un compatto è esso stesso compatto rispetto alla topologia indotta. Pertanto, per dimostrare il teorema,
basta controllare quanto segue: a) la topologia prodotto di P e la topologia debole* di V ∗ inducono
su B ∗ la stessa topologia; b) il sottoinsieme B ∗ è chiuso in P rispetto alla topologia prodotto. Per
controllare a) , basta, fissato ad arbitrio un elemento f ∈ B ∗ , confrontare le intersezioni con B ∗ degli
elementi di una base di intorni di f nella topologia prodotto con le intersezioni con B ∗ degli elementi
Analisi Funzionale
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