G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
Dimostrazione. Per dimostrare il punto i) basta combinare i due punti i) delle Proposizioni 3.9 e 3.3,
quest’ultima applicata a V ∗ . Vediamo ii) . Se V ha dimensione finita, allora V è riflessivo. Dunque la
topologia debole* di V ∗ coincide con la topologia debole. Ma quest’ultima coincide con la topologia forte
dato che anche V ∗ ha dimensione finita.
Per concludere basta dimostrare che, se V ha dimensione infinita, ogni intorno dell’origine nella topologia
debole* contiene un sottospazio di V ∗ di dimensione infinita. Ma un tale intorno è anche un intorno
nella topologia debole per il punto i) della Proposizione 3.9, per cui la tesi segue dalla Proposizione 3.3
applicata a V ∗ , che pure ha dimensione infinita.
3.12. Osservazione. Più precisamente si può dimostrare che, se V ha dimensione infinita,
nessuna delle topologie deboli che stiamo considerando è metrizzabile.
Gli enunciati che seguono sono significativi. Abbiamo scelto la forma dell’esercizio dato che
le dimostrazioni sono, da un lato, estremamente semplici e, d’altro canto, utili al lettore per la
comprensione dei concetti.
3.13. Esercizio. Dimostrare che un funzionale f ∈ Hom(V ; K) è continuo rispetto alla topologia
debole di V se e solo se appartiene a V ∗ .
3.14. Esercizio. Dimostrare che la topologia debole di V è la meno fine fra le topologie in V
rispetto alle quali ogni elemento f ∈ V ∗ resta continuo.
3.15. Esercizio. Dimostrare che la topologia debole* di V ∗ è la meno fine fra le topologie
rispetto alle quali, per ogni x ∈ V , risulta continuo il funzionale f ↦→ 〈f, x〉 , f ∈ V ∗ .
3.16. Osservazione. Segnaliamo che, molto spesso, le topologie debole e debole* vengono definite
proprio attraverso le proprietà oggetto degli ultimi due esercizi.
3.17. Esercizio. Siano V uno spazio normato, B ⊆ V e B ∗ ⊆ V ∗ . Riprendendo la nozione di
limitatezza data dalla (2.1) e gli esercizi relativi, dimostrare che: i) B è limitato nella topologia
forte di V se e solo se lo è nella topologia debole; ii) se V è di Banach, allora B ∗ è limitato nella
topologia forte di V ∗ se e solo se lo è nella topologia debole*.
3.18. Esercizio. Siano V e W due spazi normati e L ∈ L(V ; W ) . Si dimostri che L è
continuo anche rispetto alle corrispondenti topologie deboli. Si deduca che, se V e W sono due
spazi normati e V è immerso in W con continuità, allora l’immersione è continua anche rispetto
alle due topologie deboli corrispondenti.
L’ultima affermazione dell’esercizio precedente ci consente di presentare qualche applicazione
significativa del Corollario V.7.6.
3.19. Esempio. Siano Ω un aperto di R d , k un intero non negativo e p ∈ (1, +∞) . Se {vn} è
una successione limitata in W k,p (Ω) che converge debolmente in L p (Ω) a una funzione w ∈ L p (Ω) ,
allora w ∈ W k,p (Ω) e vn ⇀ w in W k,p (Ω) . Infatti si ha l’ovvia immersione continua di W k,p (Ω)
in L p (Ω) . Nell’applicazione del Corollario V.7.6 prendiamo allora V = W k,p (Ω) , che è riflessivo
per il Teorema VI.2.11, e come W prendiamo lo spazio vettoriale topologico ottenuto munendo
L p (Ω) della topologia debole. Allora l’immersione è continua, dunque continua per successioni,
anche rispetto alle topologie deboli.
Ad esempio possiamo rivedere l’Osservazione I.5.71 da un diverso punto di vista: Ω è il
disco di R 2 avente centro nell’origine e raggio r = 1/2 e la funzione u è data dalla formula
u(x) = |ln |x|| α , ove α ∈ (0, 1/2) . Consideriamo la successione {un} di funzioni definite dalla
formula un(x) = min{u(x), n} . Allora un → u in L 2 (Ω) per il Teorema di Lebesgue. D’altra
parte non è difficile vedere, ripercorrendo i calcoli fatti nell’osservazione citata, che {un} è limitata
in H 1 (Ω) . Segue allora che u ∈ H 1 (Ω) e che un ⇀ u in tale spazio.
3.20. Osservazione. Se ben si guarda la situazione generale dell’Esempio 3.19, si vede che la
convergenza debole in L p (Ω) è servita solo a individuare il candidato limite debole in W k,p (Ω) .
Ad esempio, nel caso in cui Ω è limitato, dunque di misura finita, sarebbe stata sufficiente la
convergenza debole in L 1 (Ω) . Ma in situazioni di questo genere la scelta “più naturale” è lo
204
Gianni Gilardi