G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
Mettiamo in guardia il lettore: l’enunciato del Corollario 3.4 non deve autorizzare a dedurre che
la chiusura debole sequenziale di ∂A includa A , cioè che ogni punto di A sia limite debole di una
successione di elementi di ∂A . Infatti la topologia debole in dimensione infinita non è metrizzabile
e quindi la versione sequenziale dell’enunciato in questione ha un significato in generale diverso.
Ad esempio la chiusura debole sequenziale in ℓ 1 di un insieme qualunque coincide con la sua
chiusura forte (vedi (IV.4.3)). A complemento presentiamo un risultato e qualche commento.
3.7. Proposizione. Sia V uno spazio normato. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti:
i) per ogni aperto limitato A ⊂ V la chiusura debole sequenziale della frontiera ∂A include A ;
ii) esiste una successione {en} di vettori unitari di V convergente debolmente a 0 .
Dimostrazione. Se vale la condizione i) , per dimostrare la ii) basta scegliere A = B1(0) . Viceversa
valga la ii) e sia x ∈ A : costruiamo xn ∈ ∂A tali che xn ⇀ x sfruttando la successione {en} data
dall’ipotesi. Procedendo come nella dimostrazione del Corollario 3.4, per ogni n fissato introduciamo gli
insiemi I ed E dati dalle (3.3) nelle quali si legga v0 = en . Come in quel caso R \ E ⊆ (−r, r) se r > 0
è tale che ∂A ⊆ Br(x) , per cui ancora I ed E sono aperti disgiunti e non vuoti e ogni t ∈ R tale che
x + ten ∈ ∂A verifica |t| ≤ r . Scelto pertanto tn nel complementare di I ∪ E , si ha xn = x + tnen ∈ ∂A
e |tn| ≤ r così che la successione {tn} è limitata. Segue allora che tnen ⇀ 0 , cioè che xn ⇀ x .
3.8. Osservazione. La condizione ii) della Proposizione 3.7 è soddisfatta se V è uno spazio
di Hilbert (Proposizione IV.4.4). Mostriamo che essa è soddisfatta anche nei due casi seguenti:
i) V = Lp (Ω) con p ∈ (1, +∞) se Ω è un generico spazio di misura σ -finito che rende Lp (Ω) di
dimensione infinita; ii) V = L1 (Ω) con Ω aperto di Rd (la situazione generale non potendo essere
trattata dato che essa comprenderebbe il caso V = ℓ1 già escluso). i) Siccome stiamo supponendo
che Lp (Ω) abbia dimensione infinita, esiste una successione {ωn} di sottoinsiemi misurabili di Ω
fra loro disgiunti e tutti di misura positiva e finita (si riveda la dimostrazione del Teorema I.5.36).
Poniamo en = µ(ωn) −1/pχn ove χn è la funzione caratteristica di ωn . Per concludere, posto
q = p ′ , basta trovare un sottoinsieme W denso in Lq �
(Ω) tale che limn→∞
w ∈ W (Esercizio IV.4.12). Poniamo
W =
∞�
m=1
Ω enw dµ = 0 per ogni
Wm ove Wm = {w ∈ L q (Ω) : w = 0 q.o. in ωk per ogni k > m }
e dimostriamo che W è denso in Lq (Ω) osservando che q < +∞ in quanto p > 1 . Data w ∈ Lq (Ω)
definiamo la successione {wm} come segue:
wm = w in Ω \ �
ωk e wm = 0 in �
Allora wm ∈ Wm ⊆ W per ogni m . Inoltre
�wm − w� q q = �
�
|w| q dµ da cui wm → w in Lq (Ω) .
k>m
ωk
k>m
Dunque W è denso in Lq �
(Ω) . Sia ora w ∈ W ad arbitrio. Scelto m tale che w ∈ Wm abbiamo
Ω enw
�
dµ = 0 per ogni n > m per cui concludiamo banalmente che limn→∞ Ω enw dµ = 0 .
Consideriamo ora il caso ii) dello spazio L1 (Ω) ove Ω è un aperto di Rd . Prendiamo un punto
qualunque x0 ∈ Ω e scegliamo δ > 0 in modo che x0 + [0, δπ] d ⊂ Ω . Tuttavia, per semplicità,
supponiamo x0 = 0 e δ = 1 , il caso generale trattandosi per traslazione e riscalamento a partire
dal caso particolare. Introduciamo la successione {un} data dalle formule un(x) = sin nx1 se
x ∈ [0, π] d e un(x) = 0 altrimenti. Allora �un�1 non dipende da n e possiamo scegliere
c > 0 tale che, posto en = cun , risulti �en�1 = 1 per ogni n . Osserviamo ora che le funzioni
un sono mutuamente ortogonali in L2 (Ω) e che anche �un�2 non dipende da n . Grazie alla
Proposizione IV.4.4, deduciamo che en ⇀ 0 in L2 (Ω) . Siccome en = 0 in Ω\[0, π] d , concludiamo
immediatamente che en ⇀ 0 in L1 (Ω) .
202
k>m
ωk .
Gianni Gilardi