G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi localmente convessi
è il funzionale nullo, allora esiste un punto x ∈ V in cui esso non si annulla. L’analoga affermazione
per la topologia debole di V , invece, dipende dal Teorema di Hahn-Banach, precisamente
dal Corollario V.2.10. Infatti, se x ∈ V \ {0} e f è data dal corollario citato, la seminorma pf
definita in (3.1) non si annulla in x . Notiamo infine che queste topologie inducono proprio le
convergenze che abbiamo chiamato debole e debole* grazie alla Proposizione 1.16.
Sebbene molto si possa dire su tali topologie, noi ci limitiamo a qualche osservazione e a due
risultati di compattezza. La prima cosa da notare è data dalla proposizione seguente:
3.3. Proposizione. Sia V uno spazio normato. Allora
i) la topologia debole di V è meno fine della topologia forte ;
ii) se V ha dimensione finita le due topologie coincidono ;
iii) se V ha dimensione infinita le due topologie sono diverse .
Più precisamente, nel caso iii) , ogni intorno dell’origine nella topologia debole contiene un sottospazio
di dimensione infinita. In particolare la topologia debole non è indotta da alcuna norma.
Dimostrazione. Sistematicamente basta considerare intorni dell’origine, eventualmente scelti in una base.
Il punto i) equivale a: ogni intorno della base standard della topologia debole è anche un intorno nella
topologia forte. Ma ciò è immediato dato che i funzionali che intervengono sono continui.
Tenendo conto del primo punto, il punto ii) equivale a: se V ha dimensione finita, una palla Br(0)
rispetto a una norma in V è anche un intorno nella topologia debole. Siano B una base di V e B∗ la sua
base duale (vedi III.(3.1)). Se x ∈ V sia (x1, . . . , xn) il vettore delle coordinate di x rispetto alla base B
e si ponga �x� = maxi |xi| . Allora � · � è una norma e l’intorno Br(0) rispetto a tale norma coincide con
l’intorno debole dell’origine dato dall’intersezione �n i=1 Bei r (0) .
Supponiamo ora V di dimensione infinita. Per dimostrare tutta la parte restante dell’enunciato, basta
verificare che ogni intorno I dell’origine della base standard della topologia debole contiene un sottospazio
di dimensione infinita. Un tale intorno I ha la forma
n�
I = B fi
ε (0) = {x ∈ V : |〈fi, x〉| < ε per i = 1, . . . , n }
i=1
per certi fi ∈ V ∗ e ε > 0 . Sia f ∈ Hom(V ; K n ) dato da f(x) = (〈f1, x〉, . . . , 〈fn, x〉) e siano N(f) e R(f)
il suo nucleo e la sua immagine. Siccome dim V = dim N(f) + dim R(f) per la (VII.3.4) e dim R(f) ≤ n ,
si ha dim N(f) = +∞ . D’altra parte N(f) ⊂ I , chiaramente.
3.4. Corollario. Sia V uno spazio normato di dimensione infinita. Allora la chiusura debole
della frontiera ∂A di un qualunque aperto limitato A di V include A .
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che ogni x ∈ A è di accumulazione per ∂A nella topologia debole.
Siano dunque x ∈ A e J un intorno debole di x . Allora J = x + J0 per un opportuno intorno debole J0
di 0 . Sia V0 un sottospazio di dimensione positiva incluso in J0 (ne esiste uno addirittura di dimensione
infinita per la Proposizione 3.3). Fissato v0 ∈ V0 tale che �v0� = 1 , consideriamo gli insiemi
I = {t ∈ R : x + tv0 ∈ A} e E = {t ∈ R : x + tv0 �∈ A}. (3.3)
Allora I ed E sono aperti disgiunti di R . Essi sono non vuoti, il primo in quanto 0 ∈ I , il secondo in
quanto R \ E ⊆ (−r, r) se r > 0 è tale che A ⊂ Br(x) . Essendo R connesso, il complementare di I ∪ E
contiene almeno un punto t0 . Dunque x + t0v0 ∈ J ∩ ∂A .
3.5. Esercizio. Siano V uno spazio normato di dimensione infinita e C ⊂ V un aperto convesso
e limitato. Dimostrare che la chiusura debole di ∂C è la chiusura forte C di C .
3.6. Esercizio. Sia V uno spazio normato. Dimostrare che sono equivalenti le condizioni seguenti:
i) per ogni aperto limitato A ⊂ V la chiusura debole di ∂A include A ; ii) esiste un
aperto limitato A ⊂ V tale che la chiusura debole di ∂A includa A ; iii) la chiusura debole della
sfera ∂B1(0) è la palla chiusa B1(0) ; iv) V ha dimensione infinita.
Analisi Funzionale
201