G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi localmente convessi
Che d sia ben definita ed effettivamente una metrica discende facilmente dalle proprietà di ϕ e dal fatto
che la famiglia di seminorme è separata. Un dettaglio solo per la disuguaglianza triangolare:
∞�
d(x, z) = 2 −n ∞�
ϕ(pn(x − z)) ≤ 2 −n ϕ(pn(x − y) + pn(y − z))
n=1
n=1
n=1
∞�
≤ 2 −n ∞�
ϕ(pn(x − y)) + 2 −n ϕ(pn(y − z)) = d(x, y) + d(y, z).
n=1
Dimostriamo che d induce la topologia originaria. Per chiarezza denotiamo quest’ultima con T e con Td
la topologia indotta da d . Dobbiamo dimostrare che l’applicazione identica di V è continua sia da (V, T )
in (V, Td) sia da (V, Td) in (V, T ) . Siccome in entrambe le topologie gli intorni del generico punto si
ottengono traslando gli intorni dell’origine, basta controllare dette continuità nell’origine. Per dimostrare la
prima fissiamo ε > 0 e costruiamo un intorno J dell’origine nella topologia T incluso nella palla B2ε(0)
associata alla metrica d . Fissiamo prima m tale che �
n>m 2−n ≤ ε e poi δ > 0 tale che ϕ(δ) < ε/m .
L’intorno cercato è allora J = �m (0) . Infatti, se x ∈ J , si ha
n=1 Bpn
δ
d(x, 0) ≤ ε +
m�
ϕ(pn(x)) ≤ ε + mϕ(δ) < 2ε.
n=1
Viceversa, fissato un intorno I dell’origine nella topologia T , dobbiamo costruire una palla Bδ(0) inclusa
in I . Possiamo senz’altro supporre che I appartenga alla base standard, cioè abbia la forma �k i=1 Bpn i
ε (0)
per certi indici ni e per un certo ε > 0 . Denotiamo con m il massimo di tali indici e osserviamo che
ϕ−1 : [0, 1) → [0, +∞) è ben definita e continua. Possiamo allora scegliere δ > 0 tale che 2mδ < 1 e valga
l’implicazione: da r ≥ 0 e ϕ(r) < 2mδ segue r < ε . Mostriamo che Bδ(0) ⊆ I . Se n ≤ m e d(x, 0) < δ
si ha
ϕ(pn(x)) ≤ 2 m · 2 −n ϕ(pn(x)) ≤ 2 m d(x, 0) < 2 m δ da cui pn(x) < ε.
In particolare ciò vale per n = ni , i = 1, . . . , k , per cui x ∈ I .
2.16. Osservazione. In realtà vale un risultato più profondo, che non dimostriamo: uno spazio
vettoriale topologico è metrizzabile se e solo se l’origine ha una base numerabile di intorni (il che
equivale al fatto che tale proprietà valga per ogni punto).
Nel caso di uno spazio localmente convesso metrizzabile si pone naturalmente il problema della
completezza e l’uso della metrica (2.2) non è agevole. Ora, per quanto riguarda la convergenza delle
successioni, possiamo utilizzare indifferentemente la metrica (2.2), una metrica che induce la stessa
topologia, gli intorni, oppure le seminorme, queste scelte nella famiglia ritenuta di volta in volta la
più conveniente (si ricordi la Proposizione 1.16). Una situazione analoga vale per la condizione di
Cauchy, pur di avere una precauzione. Diamo in proposito l’esempio seguente.
2.17. Esempio. Nel caso di un generico spazio topologico metrizzabile, due metriche che ne
generano la topologia possono comportarsi in modo diverso per quanto riguarda la completezza.
Si consideri ad esempio l’intervallo S = (−1, 1) munito della topologia euclidea. Una metrica che
genera tale topologia è naturalmente quella euclidea (ristretta a S × S ), che denotiamo con dE .
D’altra parte S è omeomorfo alla retta euclidea. Scelto allora un omeomorfismo ϕ : R → S
(ad esempio ϕ = tanh ), si può considerare la metrica dϕ che rende S isometrico alla retta munita
della metrica euclidea. Dunque (S, dϕ) è completo, mentre (S, dE) non lo è in quanto non chiuso
nella retta euclidea. Questa osservazione non deve sconcertare più di tanto: semplicemente avviene
che una successione di elementi di S convergente a uno dei punti ±1 in senso euclideo è di Cauchy
rispetto alla metrica dE , mentre non lo è rispetto alla metrica dϕ .
Per evitare questa circostanza spiacevole occorre limitare la classe delle metriche che inducono la
topologia data in modo che le successioni di Cauchy siano le stesse per tutte le metriche della classe
considerata. In generale possiamo dire che, se si parte da uno spazio vettoriale, due metriche d e d ′ ,
Analisi Funzionale
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