G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
2.9. Esercizio. Si dimostri che ogni successione infinitesima è limitata. Si consiglia di usare la
continuità in (0, 0) dell’applicazione (λ, v) ↦→ λv da K × V in V . Si deduca che ogni successione
convergente è limitata.
2.10. Esercizio. Siano V e W due spazi vettoriali topologici e L : V → W lineare e continuo.
Si dimostri che, se B è un limitato di V , allora L(B) è un limitato di W .
Segnaliamo che l’implicazione data nell’ultimo esercizio non può essere invertita nel quadro
generale degli spazi vettoriali topologici. Gli esercizi successivi sono relativi al caso più ristretto
degli spazi localmente convessi e all’interessante problema della normabilità in tale ambito.
2.11. Esercizio. Sia V uno spazio localmente convesso e sia F una famiglia di seminorme che
ne genera la topologia. Si dimostri che un sottoinsieme B ⊆ V è limitato se e solo se ogni p ∈ F
si mantiene limitata su B .
2.12. Esercizio. Siano V uno spazio localmente convesso e sia I un intorno limitato di 0 . Si
dimostri che esiste un intorno J di 0 che è aperto convesso equilibrato assorbente e limitato.
2.13. Esercizio. Sia V uno spazio localmente convesso. Si dimostri che V è normabile, cioè
che esiste una norma che ne genera la topologia, se e solo se l’origine ha un intorno limitato. Si
consiglia di rivedere la dimostrazione del Teorema 2.4.
2.14. Esercizio. Si deduca che uno spazio localmente convesso V è normabile se e solo se V
contiene almeno un aperto non vuoto e limitato. Questa affermazione è una versione ridotta del
Criterio di Kolmogorov di normabilità: uno spazio vettoriale topologico è normabile se e solo se
contiene almeno un aperto non vuoto limitato e convesso.
Passiamo ora a questioni di metrizzabilità. Sebbene valga un risultato più generale (si veda
l’osservazione successiva), noi ci limitiamo a dimostrare il seguente
2.15. Teorema. Sia V uno spazio localmente convesso. Allora sono equivalenti le condizioni
seguenti: i) V è metrizzabile; ii) V è a basi numerabili di intorni; iii) ogni famiglia di seminorme
che genera la topologia di V contiene una famiglia al più numerabile che genera la stessa topologia;
iv) esiste una famiglia F di seminorme al più numerabile che genera la topologia di V .
Dimostrazione. Ovviamente i) implica ii) e iii) implica iv) . Dimostriamo ora che ii) implica iii) .
Fissiamo una famiglia F di seminorme che genera la topologia di V e consideriamo, accanto alla base
standard B indotta da F , una base B ′ al più numerabile di intorni dell’origine, che esiste per ipotesi. Sia
I ′ ∈ B ′ . Siccome I ′ è un intorno dell’origine nella topologia indotta da F , esiste I ∈ B incluso in I ′ .
Ma tale I si ottiene come intersezione di semipalle del tipo B pj
r (0) , j = 1, . . . , m in numero finito, il che
individua un numero finito di seminorme pj , j = 1, . . . , m , di F . Se per ogni I ′ ∈ B ′ consideriamo tali
seminorme, la famiglia di seminorme che complessivamente si estrae da F è al più numerabile e induce la
topologia originaria. Infatti, da un lato, la base standard B ′′ associata è estratta da B e, d’altra parte, ogni
elemento di B , contenendo un elemento di B ′ , contiene anche un elemento di B ′′ . Dimostriamo infine che
iv) implica i) . Fissiamo la famiglia F separata e al più numerabile di seminorme che induce la topologia
di V . Pur di ripetere una stessa seminorma infinite volte se necessario, possiamo supporre che F sia
l’immagine di una successione {pn} di seminorme. Per costruire una metrica che induce la stessa topologia,
scegliamo una funzione ϕ : [0, +∞) → [0, 1) biiettiva, (strettamente) crescente, limitata e subadditiva,
ad esempio ϕ = tanh . Notiamo infatti che, se ϕ(0) = 0 , la subadditività di ϕ è garantita dalla concavità.
Infatti si ha per ogni r, s > 0
ϕ(r + s) ≤ ϕ(r) + ϕ(s) se e solo se
ϕ(r + s) − ϕ(r)
s
≤
ϕ(s) − ϕ(0)
s
e la seconda disuguaglianza vale appunto se ϕ è concava. Definiamo allora d mediante
198
d(x, y) =
∞�
2 −n ϕ(pn(x − y)) per x, y ∈ V . (2.2)
n=1
Gianni Gilardi