G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi localmente convessi
ricordiamo che C è il più piccolo convesso che contiene E . Segue che C contiene l’origine ed è incluso
in I dato che I è convesso. Inoltre C è anche aperto grazie all’Esercizio I.4.7. Dimostriamo infine che C
è equilibrato. Siano infatti x ∈ C e α ∈ K tale che |α| ≤ 1 . Allora x = �
i ϑixi , la somma essendo finita,
con certi xi ∈ E e ϑi ≥ 0 tali che �
i ϑi = 1 . Abbiamo allora αx = �
i ϑi(αxi) . Ma αxi ∈ E perché E
è equilibrato e quindi αx ∈ C .
2.4. Teorema. Uno spazio vettoriale topologico V è localmente convesso se e solo se la sua
topologia è generata da una famiglia di seminorme.
Dimostrazione. Supponiamo che la topologia di V sia generata da una famiglia F di seminorme. Per
ogni p ∈ F e r > 0 la semipalla B p r (0) è un convesso, come subito si verifica. La stessa proprietà vale
allora per ogni intersezione finita. Dunque la base standard di intorni dell’origine associata alla famiglia F
è costituita da intorni convessi, per cui V è localmente convesso.
Supponiamo ora V localmente convesso e sia T la sua topologia. Per il lemma, esiste una base B0 di
intorni dell’origine costituita da aperti convessi equilibrati. Poniamo F = {minkC : C ∈ B0} , la famiglia
dei funzionali di Minkowski degli elementi di B0 , e sia T ′ la topologia generata da F . Dimostriamo che
T ′ = T . A tale scopo, siccome V è vettoriale topologico, basta provare che: i) ogni elemento C ∈ B0 è un
intorno dell’origine nella topologia T ′ ; ii) ogni elemento della base standard associata a F è un intorno
dell’origine nella topologia T . Il punto i) è immediato: grazie alla Proposizione V.9.8, per ogni C ∈ B0 ,
si ha C = B minkC
1 (0) , per cui C stesso è un elemento della base standard associata a F , dunque un
intorno dell’origine nella topologia T ′ . Ma anche il punto ii) è facile. Sia infatti I un elemento della base
(0) per ogni seminorma p e ogni r > 0 , vediamo che I è
standard associata a F . Siccome B p r (0) = rB p
1
intersezione finita di insiemi del tipo rB minkC i
1
(0) , con Ci ∈ B0 . Osserviamo che B minkC i
1 (0) = Ci dato che
i Ci sono aperti convessi equilibrati. Ma siccome T rende V vettoriale topologico e tali Ci sono intorni
dell’origine, la stessa cosa vale per rCi e per le intersezioni finite. Dunque I è un intorno dell’origine nella
topologia T .
2.5. Esercizio. Si riprenda la seconda parte della dimostrazione nel caso banale in cui V è
normato e B0 = {Br(0) : r > 0} . Si costruisca la famiglia di seminorme e si tocchi con mano che
questa genera la topologia originaria.
La teoria degli spazi localmente convessi (e più in generale degli spazi vettoriali topologici)
è molto ricca, ma in questa sede non possiamo dire molto di più di quanto abbiamo già detto.
Tuttavia, vogliamo almeno accennare alla nozione di insieme limitato (dopo di che una funzione,
in particolare una successione, a valori in uno spazio vettoriale topologico sarà limitata quando è
limitata la sua immagine) e proporre una serie di esercizi guidati. Siano V uno spazio vettoriale
topologico e B ⊆ V . Allora si definisce:
B è limitato se e solo se per ogni intorno I di 0 esiste ε > 0 tale che εB ⊆ I . (2.1)
In modo equivalente: per ogni intorno I di 0 esiste c > 0 tale che cI ⊇ B . Si noti che la (2.1)
dipende solo dalla topologia e che, nel caso in cui questa sia indotta da una metrica d , la limitatezza
di B potrebbe non coincidere con la limitatezza di d|B×B . Infatti, se d0 è una metrica che induce
la topologia data, la formula d(x, y) = tanh d0(x, y) definisce una metrica che induce la stessa
topologia e, con questa metrica, avremmo d|B×B limitata qualunque sia il sottoinsieme B .
2.6. Esercizio. Si dimostri che il concetto di limitatezza non cambia se nella (2.1) lasciamo
variare I solo in una base fissata di intorni dell’origine e che la (2.1) coincide con l’abituale nozione
di limitatezza nel caso degli spazi normati.
2.7. Esercizio. Si dimostri che, se B è limitato e I è un intorno di 0 , allora esiste ε0 > 0 tale
che cB ⊆ I per ogni c ∈ K verificante |c| ≤ ε0 , in particolare εB ⊆ I per ogni ε ∈ (0, ε0) . Si
usi la continuità in (0, 0) di (λ, v) ↦→ λv da K × V in V .
2.8. Esercizio. Si dimostri che, se B è limitato e v0 ∈ V , anche v0 + B è limitato. Si usino la
continuità in (0, 0) dell’applicazione (λ, v) ↦→ λv0 + v da K × V in V e l’Esercizio 2.7.
Analisi Funzionale
197