G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
Consideriamo ora la convergenza di una successione: anche in questo caso vogliamo tradurre la
definizione di limite in una condizione che fa intervenire solo le seminorme che generano la topologia.
1.16. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale e F una famiglia separata di seminorme
in V . Allora una successione {xn} di elementi di V converge all’elemento x ∈ V nella topologia
generata da F se e solo se vale la condizione
lim
n→∞ p(xn − x) = 0 per ogni p ∈ F . (1.6)
Dimostrazione. La convergenza xn → x equivale a: per ogni intorno I dell’origine di V esiste m ∈ N
tale che xn − x ∈ I per ogni n ≥ m . Inoltre non è restrittivo limitarsi a considerare gli intorni I della
forma I = �
p∈F ′ B p ε (0) ove ε > 0 e la famiglia finita F ′ ⊆ F sono arbitrari. Allora la convergenza in
questione equivale alla condizione: per ogni ε > 0 e per ogni famiglia finita F ′ ⊆ F , esiste m ∈ N tale che
p(xn − x) ≤ ε per ogni n ≥ m e ogni p ∈ F ′ . Ciò, a sua volta, equivale e dire che, per ogni ε > 0 e p ∈ F
esiste m ∈ N tale che p(xn − x) ≤ ε per ogni n ≥ m . Ma quest’ultima frase è la definizione di (1.6).
2. Spazi localmente convessi
Come abbiamo anticipato all’inizio del capitolo, gli spazi localmente convessi costituiscono la classe
più importante di spazi vettoriali topologici e tutti gli spazi normati e molti degli spazi funzionali di
interesse nelle applicazioni dell’Analisi Funzionale sono localmente convessi. D’altra parte, parlare
di spazi localmente convessi significa semplicemente rovesciare la medaglia: essi, infatti, sono tutti
e soli gli spazi vettoriali topologici la cui topologia è indotta da una famiglia di seminorme.
Il punto centrale di questo paragrafo è la dimostrazione di tale affermazione. A complemento,
daremo un risultato di metrizzabilità. Naturalmente, però, iniziamo dalla definizione.
2.1. Definizione. Uno spazio localmente convesso è uno spazio vettoriale topologico ogni punto
del quale ha una base di intorni convessi.
2.2. Osservazione. Siccome in ogni spazio vettoriale topologico le traslazioni sono omeomorfismi
che trasformano convessi in convessi, richiedere che ogni punto abbia una base di intorni
convessi equivale a richiedere che l’origine abbia una base di intorni convessi. Il lemma successivo,
propedeutico al risultato principale, afferma che l’origine ha anche una base più speciale di intorni.
A tale proposito ricordiamo che la nozione di insieme equilibrato è stata data nella Definizione V.9.3.
2.3. Lemma. Sia V uno spazio localmente convesso. Allora l’origine ha una base di intorni
aperti convessi ed equilibrati.
Dimostrazione. Basta provare che ogni intorno dell’origine contiene un intorno dell’origine che è aperto
convesso ed equilibrato. Fissato dunque un intorno I dell’origine, dimostriamo che: i) esiste un intorno
E dell’origine incluso in I che è anche aperto ed equilibrato; ii) esiste un intorno C dell’origine incluso
in I che è anche aperto, convesso ed equilibrato. Dato che V è localmente convesso, I contiene un
intorno convesso dell’origine. Inoltre, siccome l’interno di un convesso è pure convesso per l’Esercizio I.4.6,
l’interno dell’intorno convesso trovato è un intorno aperto e convesso incluso in I . Per non introdurre
troppe notazioni, supponiamo che I stesso sia convesso e aperto. Dimostriamo il punto i) costruendo E .
Sfruttiamo la continuità in (0, 0) ∈ K × V dell’applicazione (λ, x) ↦→ λx da K × V in V . Esistono allora
δ > 0 e un intorno J dell’origine di V tali che, se |λ| ≤ δ e x ∈ J , risulti λx ∈ I . Possiamo supporre
che J sia anche aperto. Definiamo allora E come segue
E = {λx : |λ| ≤ δ, x ∈ J} = �
|λ|≤δ
λJ = �
0