G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
5.24. Osservazione. Se la convergenza in L ∞ (Ω) è di tipo uniforme (vedi Esercizio 5.10) la convergenza
in L p (Ω) con p finito non implica nemmeno la convergenza puntuale q.o., come mostra
l’esempio dato di seguito. D’altra parte, se vn → v q.o., anche sapendo a priori che tutte le funzioni
in gioco appartengono a L p (Ω) , non possiamo dedurre che vn → v in L p (Ω) , come mostrano
esempi banali. Una condizione sufficiente per la convergenza vn → v in L p (Ω) è la seguente:
vn → v q.o. in Ω ed esiste ϕ ∈ L p (Ω) tale che |vn| ≤ ϕ q.o. in Ω e per ogni n (5.13)
come si vede applicando il Teorema della convergenza dominata di Lebesgue a |vn −v| p . Viceversa,
si può dimostrare che
se vn → v in Lp (Ω), allora esistono una sottosuccessione {vnk } e ϕ ∈ Lp (Ω) tali che
→ v q.o. in Ω e |vnk | ≤ ϕ q.o. in Ω per ogni k. (5.14)
vnk
In particolare, se vn → u in L p (Ω) e vn → v in L q (Ω) , allora u = v q.o.
5.25. Esempio. Sia {En} una successione di insiemi misurabili di misura finita e si supponga
che limn→∞ µ(En) = 0 . Allora, detta vn la funzione caratteristica di En (vedi (A.2.3)), si ha
vn → 0 in Lp (Ω) per ogni p finito, come subito si verifica. D’altra parte, se gli insiemi En
sono disposti in modo, diciamo, caotico, la successione {vn} non converge q.o. Ma è intuitivo che
è possibile estrarre una sottosuccessione {Enk } in cui gli insiemi hanno posizioni reciproche ben
migliori in modo che la corrispondente sottosuccessione {vnk } converga q.o.
5.26. Esercizio. Sia p ∈ [1, +∞] e sia V0 il sottoinsieme di Lp (0, +∞) costituito dalle funzioni
v ∈ Lp (0, +∞) tali che v| (n,n+1) è (q.o. uguale a una funzione) costante per ogni intero
n ≥ 0 . Dimostrare che V0 è un sottospazio chiuso.
5.27. Esercizio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito, p ∈ [1, +∞] e ω un sottoinsieme
misurabile di Ω di misura positiva. Dimostrare che il sottoinsieme di L p (Ω) costituito dalle
funzioni che si annullano (q.o.) in ω è un sottospazio chiuso.
Ora specializziamo lo spazio di misura in direzioni diverse e vediamo come alcune situazioni
apparentemente lontane siano, di fatto, casi particolari di quello precedente.
5.28. Esempio (spazi con peso). Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito, p ∈ [1, +∞)
e w : Ω → R una funzione misurabile tale che w(x) > 0 q.o. Denotiamo con L p w(Ω) lo spazio
delle (classi di) funzioni misurabili v : Ω → K tali che la funzione |v| pw sia integrabile e muniamo
tale spazio della norma definita dalla formula
�
�v� = |v| p w dµ. (5.15)
Ω
Ancora abbiamo uno spazio normato, detto spazio Lp con peso, il “peso” essendo la funzione w
(weight in inglese). Vediamo come tale spazio sia, di fatto, un normale spazio Lp . Basta infatti
considerare lo spazio di misura (Ω, M, ν) ove ν : M → [0, +∞] è definita dalla formula
�
ν(E) = w dµ per E ∈ M (5.16)
E
pur di supporre che anche il nuovo spazio (Ω, M, ν) sia σ -finito, il che (falso in generale) è vero
in tutti i casi concreti. Si noti che “q.o.” ha lo stesso significato per le due misure µ e ν data
l’ipotesi w > 0 q.o. Tuttavia il termine “spazio con peso” è effettivamente usato, specialmente
quando la misura iniziale µ sia in qualche modo privilegiata. Ciò accade senz’altro quando Ω è
un sottoinsieme di R d : allora la misura di Lebesgue è “la misura” per antonomasia.
5.29. Esercizio. Dimostrare che L p (Ω) e L p w(Ω) sono isometricamente isomorfi.
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Gianni Gilardi