G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Indice
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1 Norme e prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Seminorme, norme e prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Spazi normati e prehilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Esempi di spazi normati e prehilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Alcune costruzioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1 Completezza, spazi di Banach e di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Alcuni spazi di Banach e di Hilbert importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Completamenti di spazi metrici, normati, prehilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Operatori e funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Lo spazio duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Esempi di spazi duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1 Proiezioni e rappresentazione dei funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Decomposizioni e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Il problema della compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 La convergenza debole in uno spazio normato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Compattezza debole sequenziale negli spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Il Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1 Forma analitica del Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2 Prime conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3 L’applicazione di dualità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Isomorfismo canonico, riflessività e convergenza debole* . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Spazi separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 Compattezza debole* sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 Compattezza debole sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8 L’aggiunto di un operatore lineare e continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 Forme geometriche del Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10 La semicontinuità inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123