G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi localmente convessi
1.10. Proposizione. Siano V e W due spazi vettoriali e F e G due famiglie separate di
seminorme in V e in W rispettivamente. Allora un operatore lineare L ∈ Hom(V ; W ) è continuo
rispetto alle corrispondenti topologie se e solo se vale la condizione: per ogni q ∈ G esistono una
famiglia finita F ′ ⊆ F e una costante M ≥ 0 tali che
q(Lx) ≤ M max p(x) per ogni x ∈ V . (1.4)
p∈F ′
Dimostrazione. Valga la (1.4). Dimostriamo che L è continuo in 0 . Fissiamo un intorno I di 0 in
W e cerchiamo un intorno J di 0 in V tale che Lx ∈ I per ogni x ∈ J . Come I possiamo prendere
l’intersezione delle semipalle chiuse B q ε (0) , ove ε > 0 è fissato e q varia in una fissata famiglia finita G ′ ⊆ G .
Denotiamo con qk , k = 1, . . . , n , le seminorme di G ′ e applichiamo la (1.4) a ciascuna delle qk : troviamo
una famiglia finita {pkj}j=1,...,mk e una costante Mk che rendono vera l’analoga della (1.4). Possiamo
allora prendere
J =
n�
mk �
k=1 j=1
B pkj
δ (0) ove δ > 0 è tale che Mkδ ≤ ε per k = 1, . . . , n .
Viceversa, supponiamo L continuo in 0 e sia q ∈ G . Allora B q
1 (0) è un intorno dell’origine di W .
Esiste dunque un intorno J dell’origine di V tale che q(Lx) ≤ 1 per ogni x ∈ J . Siano F ′ ⊆ F una
famiglia finita e δ > 0 tali che l’intersezione � p
′ B (0) sia inclusa in J . Sia ora x ∈ V e si ponga
p∈F δ
M(x) = maxp∈F ′ p(x) . Si supponga dapprima M(x) > 0 e si ponga y = (δ/M(x))x . Allora p(y) ≤ δ per
ogni p ∈ F ′ , cioè y ∈ J , da cui q(Ly) ≤ 1 . Segue allora q(Lx) ≤ (1/δ)M(x) , cioè la (1.4) con M = 1/δ
relativamente ai punti x presi in considerazione. Sia ora M(x) = 0 . Allora λx ∈ J per ogni λ ∈ K da cui
q(L(λx)) ≤ 1 per ogni λ ∈ K . Segue che q(Lx) = 0 e la disuguaglianza richiesta vale banalmente.
1.11. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale e F una famiglia separata di seminorme
in V . Allora una seminorma q in V è continua rispetto alla topologia indotta da F se e solo se
vale la condizione: esistono una famiglia finita F ′ ⊆ F e una costante M ≥ 0 tali che
1.12. Esercizio. Dimostrare la proposizione precedente.
q(x) ≤ M max p(x) per ogni x ∈ V . (1.5)
p∈F ′
1.13. Osservazione. In relazione al risultato precedente, denotiamo con T la topologia generata
da F . Allora ogni seminorma p ∈ F è continua rispetto a T . Sia ora T ′ una topologia che
rende V spazio vettoriale topologico e continue tutte le seminorme di F . Allora, per ogni p ∈ F
e ogni x0 ∈ V , è continua anche la funzione x ↦→ p(x − x0) da V in R . Ne segue che, per ogni
r > 0 , la semipalla B p r (x0) è un aperto di T ′ . La stessa cosa vale allora per tutte le intersezioni
finite di insiemi di questo tipo. Concludiamo che ogni intorno di x0 nella topologia T è anche un
intorno di x0 nella topologia T ′ , cioè che: la topologia indotta da F è la meno fine fra quelle
che: i) rendono V spazio vettoriale topologico; ii) rendono continue tutte le seminorme di F .
Segnaliamo che, più spesso, la topologia indotta da F viene introdotta proprio per mezzo della
proprietà ora segnalata. In tal caso gli intorni, gli aperti, eccetera vengono costruiti a posteriori.
Dalla Proposizione 1.10 segue banalmente anche il risultato successivo.
1.14. Corollario. Siano V uno spazio vettoriale e F e G due famiglie separate di seminorme
in V . Allora queste generano la stessa topologia se e solo se valgono le condizioni: i) per ogni
q ∈ G esistono una famiglia finita F ′ ⊆ F e una costante M ≥ 0 tali che q(x) ≤ M maxp∈F ′ p(x)
per ogni x ∈ V ; ii) per ogni p ∈ F esistono una famiglia finita G ′ ⊆ G e una costante M ≥ 0
tali che p(x) ≤ M maxq∈G ′ q(x) per ogni x ∈ V .
1.15. Esercizio. Sia T la topologia generata da una famiglia di seminorme. Dimostrare che la
topologia generata dalla famiglia delle seminorme continue nella topologia T è ancora T .
Analisi Funzionale
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