G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
1.5. Osservazione. Supponiamo che la famiglia F di seminorme goda della proprietà seguente:
per ogni p1, p2 ∈ F , appartiene a F anche la seminorma p definita dalla formula
p(x) = max{p1(x), p2(x)} per x ∈ V . Allora si vede chiaramente che, per ogni x0 ∈ V e r > 0 ,
ogni intersezione finita di semipalle di centro x0 e raggio r associate a seminorme di F è essa
stessa una singola semipalla di centro x0 e raggio r associata a una seminorma di F . Ne consegue
che la base standard (1.2) associata a F si riscrive nella forma più semplice
B(x0) = {B p r (x0) : p ∈ F e r > 0 }.
Notiamo che, data una qualunque famiglia F0 di seminorme, si può sempre costruire una famiglia
F di seminorme che gode della proprietà detta e tale che F e F0 inducano la stessa topologia.
Anche se altri autori non se ne curano più di tanto, noi pretendiamo la separazione per la
topologia indotta dalla famiglia data. Ebbene, si verifica subito che vale il risultato seguente:
1.6. Proposizione. La topologia generata dalla famiglia F è di Hausdorff se e solo se
per ogni x �= 0 esiste p ∈ F tale che p(x) > 0 (1.3)
o, equivalentemente, l’unico punto di V in cui ogni p ∈ F si annulla è l’origine.
1.7. Definizione. Diciamo che la famiglia F di seminorme è separata quando vale la (1.3).
1.8. Esercizio. Considerare in K n la famiglia di seminorme F = {| · |i : i = 1, . . . , n} definita
dalla formula |x|i = |xi| se x = (x1, . . . , xn) . Dimostrare che F genera la topologia euclidea.
Dimostrare più in generale che, se F è una famiglia separata e finita di seminorme in uno spazio
vettoriale V , allora vi è una norma in V che induce la topologia generata da F .
1.9. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale, F una famiglia separata di seminorme in V
e T la topologia indotta da F su V . Allora (V, T ) è uno spazio vettoriale topologico.
Dimostrazione. La separazione di Hausdorff è garantita dalla (1.3). Verifichiamo che l’operazione di
somma è continua. Siano x0, y0 ∈ V e I un intorno di x0 + y0 . Dobbiamo costruire un intorno J di
(x0, y0) nel prodotto V × V tale che, per ogni (x, y) ∈ J , si abbia x + y ∈ I . Possiamo supporre che I
sia l’intersezione delle semipalle B p ε (x0 + y0) , ove ε > 0 è fissato e p varia in una fissata famiglia finita
F ′ ⊆ F . Siccome p((x + y) − (x0 + y0)) ≤ p(x − x0) + p(y − y0) per ogni x, y e per ogni seminorma p ,
è chiaro che possiamo prendere
� �
J =
p∈F ′
B p
ε/2 (x0)
� � �
×
p∈F ′
B p
ε/2 (y0)
�
che effettivamente è un intorno di (x0, y0) nella topologia prodotto. Verifichiamo che l’operazione di prodotto
fra scalari e vettori è continua. Siano x0 ∈ V e λ0 ∈ K e sia I un intorno di λ0x0 . Dobbiamo trovare un
intorno J di (λ0, x0) in K × V tale che λx ∈ I per ogni (λ, x) ∈ J . Ancora possiamo supporre che I sia
l’intersezione delle semipalle, questa volta del tipo B p ε (λ0x0) , ove ε > 0 è fissato e p varia in una fissata
famiglia finita F ′ ⊆ F . Per ogni λ ∈ K e x ∈ V , ogni seminorma p verifica
p(λx − λ0x0) ≤ |λ|p(x − x0) + |λ − λ0|p(x0) ≤ (|λ0| + |λ − λ0|)p(x − x0) + |λ − λ0|p(x0).
Dunque possiamo prendere
J = (λ0 − δ, λ0 + δ) × �
ove δ ∈ (0, 1) è scelto in modo che (|λ0| + 1)δ + δp(x0) < ε .
p∈F ′
B p
δ (x0)
Ora che sappiamo di trattare con spazi vettoriali topologici, ricordando le Proposizioni I.4.9
e I.4.10, possiamo stabilire i risultati seguenti di continuità. Dimostriamo solo il primo, dato che
per il secondo il ragionamento è simile.
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Gianni Gilardi