G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
purché c + λ − (2/α)�b�2 ∞ ≥ α/2 . Scegliamo dunque λ > 0 in modo che tale condizione sia
soddisfatta e abbiamo la coercività debole. Valgono pertanto le conclusioni del Teorema 7.26 e
ciò che rimane da fare è capire il significato dei problemi coinvolti e quello delle condizioni di
compatibilità sul dato che assicurano l’esistenza della soluzione. Osserviamo preliminarmente che
è equivalente far variare v in tutto V oppure solo in C∞ c (Ω) nella (7.21) in quanto C∞ c (Ω)
è denso in V = H1 0 (Ω) per definizione e, per ogni u ∈ V fissata, il primo membro definisce
un funzionale lineare e continuo su V . Ora l’equazione variazionale (7.21) ha un significato più
generale della (8.1), in quanto il dato f ∗ può essere un elemento di V ∗ . Tuttavia, se f ∗ è dato da
〈f ∗ �
, v〉 =
Ω
fv dx per v ∈ V , con f ∈ L 2 (Ω) (8.30)
(il che significa f ∗ = f ∈ H nel senso delle identificazioni fatte nella terna hilbertiana) allora si
ottiene una situazione più concreta. Precisamente la (7.21) equivale al problema
u ∈ H 1 0 (Ω) e − div(A∇u) + b · ∇u + cu = f nel senso delle distribuzioni
e la condizione di risolubilità diventa
�
fw dx = 0 per ogni soluzione w del problema (7.22). (8.31)
Ω
Ma l’equazione (7.22) può essere trattata allo stesso modo in quanto la forma aggiunta è data da
a ∗ �
(u, v) = ((A T ∇u + bu) · ∇v + cuv) dx per u, v ∈ V .
Dunque la (7.22) significa
Ω
w ∈ H 1 0 (Ω) e − div(A T ∇w + bw) + cw = 0 nel senso delle distribuzioni. (8.32)
Notiamo che, grazie al Teorema 7.26, lo spazio dato dalle (8.32) ha dimensione finita, per cui
la (8.31) equivale a un numero finito di condizioni indipendenti. Osserviamo che quanto detto nella
Sezione 7.30 altro non è che la discussione concreta, in una situazione elementare, delle condizioni
di risolubilità appena trovate.
Analisi Funzionale
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