G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
Ciò vale se Ω è limitato e regolare e i casi estremi p = 1 e p = ∞ sono ammessi. Ma torniamo
alla nostra situazione: p ∈ (1, +∞) . Se vn ⇀ 0 in D(L) , allora vn ⇀ 0 in W 2,p (Ω) , da cui
vn → 0 in W 1,p (Ω) per la (8.27). D’altra parte si ha facilmente
�Kvn�p ≤ �b�∞ �∇vn�p + �c�∞ �vn�p ≤ (�b�∞ + �c�∞)�vn�1,p
per cui Kvn → 0 il Lp (Ω) e la compattezza segue dall’Esercizio 7.19 (applicabile grazie al Teorema
VI.2.11). Allora il Teorema 7.22 assicura che L ha immagine chiusa, oltre che nucleo di
dimensione finita. In particolare vale la (5.4). Per caratterizzare l’immagine, tuttavia, conviene
procedere come abbiamo fatto nel caso particolare dell’Esempio 8.1, vedere cioè L come operatore
non limitato da V = Lp (Ω) in W = Lp (Ω) in modo che l’aggiunto L∗ sia un operatore (non limitato)
da W ∗ = Lq (Ω) in V ∗ = Lq (Ω) . Calcoliamo l’aggiunto come abbiamo fatto nel caso
particolare. Sia w∗ ∈ W ∗ = Lq (Ω) . Allora w∗ ∈ D(L∗ ) se e solo se esiste v∗ ∈ Lq (Ω) tale che
�
Ω
v ∗ �
v dx =
Ω
w ∗ (− div(A∇v) + b · ∇v + cv) dx per ogni v ∈ D(L) .
Ci troviamo in una situazione simile a quella dell’Esempio 8.6 e si può dimostrare che: i) D(L ∗ ) =
W 2,q (Ω) ∩ W 1,q
0 (Ω) ; ii) L∗ w ∗ = − div(A T ∇w ∗ + bw ∗ ) + cw ∗ per w ∗ ∈ D(L ∗ ) . Allora l’equazione
Lu = f che ci siamo proposti di studiare con dato f ∈ L p (Ω) ha almeno una soluzione u apparte-
nente a W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) se e solo se vale la condizione
�
fw
Ω
∗ dx = 0 per ogni w∗ ∈ Lq (Ω) verificante
− div(A T ∇w ∗ + bw ∗ ) + cw ∗ = 0 in Ω e w ∗ = 0 su Γ (8.28)
ove è inteso che l’equazione sia soddisfatta in forma debole e la condizione di annullamento sia
verificata in un opportuno senso generalizzato. Siccome si può dimostrare che il nucleo di L ∗ ha
dimensione finita, l’esistenza delle soluzioni di (8.1) (con la regolarità W 2,p richiesta ora) dipende
dall’annullamento di un numero finito di integrali che coinvolgono f . Ciò sarà chiaro, anche se in
un quadro funzionale diverso, da quanto diremo nell’esempio successivo.
8.9. Esempio (soluzioni variazionali). Riprendiamo l’idea data nell’Esempio 8.7, ma modifichiamo
gli spazi in gioco. Poniamo V = H1 0 (Ω) e introduciamo la forma bilineare a : V × V → R
definita dalla formula
� �
�
a(u, v) = (A∇u) · ∇v + (b · ∇u) v + cuv dx per u, v ∈ V .
Ω
A questo proposito osserviamo che, perché la definizione abbia senso e valga quanto diciamo di
seguito, è sufficiente supporre i coefficienti limitati e la condizione di ellitticità uniforme
aij, bi, c ∈ L ∞ (Ω) e (A(x)ξ) · ξ ≥ α|ξ| 2 per ogni ξ ∈ R d e per q.o. x ∈ Ω . (8.29)
Tuttavia occorre ancora supporre Ω limitato e regolare, in modo che valga la (8.27). Controlliamo
che siamo nelle condizioni di applicare direttamente il Teorema 7.26 con H = L2 (Ω) e di vedere
chiaramente quali siano le condizioni di risolubilità. La compattezza dell’immersione di V in H
segue dalla (8.27). Dobbiamo poi verificare che la forma a è bilineare continua e debolmente
coerciva, e a questo scopo basta richiamare l’Esempio IV.1.25. Il controllo che a sia bilineare e
continua è stato fatto in quell’occasione. Ripetendo inoltre, con δ = α/2 , lo stesso calcolo fatto
nell’esempio citato, otteniamo per ogni u ∈ V
190
a(u, u) + λ�u� 2 2 =
�
Ω
�
(A∇u) · ∇u + (b · ∇u) u + (c + λ) u 2�
dx ≥ α
2 �u�2 1,2
Gianni Gilardi