G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
Se u ∈ D(L) , la funzione w è unica (per il Lemma I.5.53) e poniamo Lu = w . Questa è
una versione debole dell’operatore u ↦→ − div(A∇u) che suona analoga alla (I.5.49) (dove c’è ∆
senza il segno meno). Notiamo che il dominio D(L) è sufficientemente “grande” da garantire che
l’operatore L : D(L) ⊆ L p (Ω) → L p (Ω) ottenuto sia chiuso, e la dimostrazione di ciò è immediata.
Infatti, se un ∈ D(L) per ogni n , un → u in L p (Ω) e wn = Lun → w in L p (Ω) , allora, per ogni
v come in (8.24), risulta
�
Ω
�
�
w v dx = lim
n→∞
wn v dx = lim
Ω
n→∞
un(− div(A
Ω
T �
∇v)) dx = u(− div(A
Ω
T ∇v)) dx
dato che v, − div(A T ∇v) ∈ L q (Ω) . Dunque u ∈ D(L) e w = Lu .
La differenza sostanziale rispetto alla situazione dell’Esempio 8.1 è la seguente: qui non ci siamo
posti davvero il problema di come sia fatto il dominio di L e abbiamo preso un sottospazio molto
grande in cui riusciamo a dar senso alle cose da scrivere, nulla di più, senza preoccuparci di quale sia
l’effettiva regolarità delle funzioni in gioco. Tuttavia, la definizione di D(L) fa sì che gli elementi
u ∈ D(L) verifichino una condizione di annullamento al bordo in qualche senso generalizzato,
come suggerisce quanto è stato detto nell’Osservazione 8.2. Se non avessimo ipotesi di regolarità
dovremmo lavorare parecchio per continuare il discorso. Al contrario, grazie alle condizioni imposte
a Ω e ai coefficienti, siamo nelle condizioni di utilizzare l’implicazione (8.15), applicata con p e
q scambiati e con A T al posto di A , e concludere che D(L) = W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) . Dunque,
a posteriori, questo e l’operatore dato dalla (8.5) sono gli stessi e non occorre aggiungere altro.
8.7. Esempio. La costruzione dell’operatore fatta nell’Esempio 8.6 realizza l’idea seguente: si
moltiplicano i due membri dell’equazione − div(A∇u) = f per la generica funzione v nulla al
bordo, si integra su Ω e si eseguono due integrazioni per parti (uguaglianza fra primo e terzo
membro della (8.20)). Al contrario, nell’Esempio 8.1 non si è integrato per parti affatto. C’è una
possibilità intermedia: integrare per parti una volta sola (uguaglianza fra primo e secondo membro
della (8.20)). Ecco come si può fare. Costruiamo L : D(L) ⊆ L p (Ω) → L p (Ω) prendendo come
D(L) l’insieme delle funzioni u verificanti le condizioni: u ∈ W 1,p
0 (Ω) ed esiste w ∈ L p (Ω) tale che
�
Ω
�
w v dx =
Ω
(A∇u) · ∇v dx per ogni v ∈ W 1,q
0 (Ω) . (8.25)
Anche in questo caso, ben inteso nelle ipotesi di regolarità, abbiamo D(L) = W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω)
così che questo e gli operatori degli Esempi 8.1 e 8.6 sono gli stessi.
8.8. Esempio (seguito di 8.1). Consideriamo ora il caso generale corrispondente al problema
(8.1), supponendo cioè b e c generici. Ancora vediamo la (8.1), con la condizione al bordo
intesa in un senso generalizzato, come Lu = f con un opportuno operatore L . Ora, sfruttando
quanto già sappiamo del caso particolare, cerchiamo di applicare il Teorema 7.22. Definiamo
D(L) = W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) e Lv = − div(A∇v) + b · ∇u + cu per v ∈ D(L) (8.26)
e decomponiamo L come L = I + K ove I, K : D(L) → L p (Ω) sono definiti dalle formule
Iv = − div(A∇v) e Kv = b · ∇v + cv per v ∈ D(L) .
Se D(L) è munito della norma indotta da W 2,p (Ω) (di cui è sottospazio chiuso), L è lineare e
continuo da D(L) in L p (Ω) , I è un isomorfismo per la (8.16) e K è compatto come ora mostriamo
appoggiandoci al Teorema di Rellich-Kondrachov, che enunciamo in una versione più forte di quella
data in IV.3.20 ma da quella deducibile:
l’immersione di W k,p (Ω) in W k−1,p (Ω) è compatta per ogni k ≥ 1 e p ∈ [1, +∞] . (8.27)
Analisi Funzionale
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