G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
Si prendano Ω = B1(0) ⊂ R 2 e la funzione u : Ω → R data da u(x, y) = xy ln(x 2 + y 2 ) .
Allora un calcolo immediato fornisce (oltre alle derivate prime che non scriviamo)
D 2 xu(x, y) = 2xy
x2 +
+ y2 4xy3
∆u(x, y) = 8xy
(x2 + y2 ) 2 , D2 yu(x, y) = 2xy
x2 +
+ y2 4x3
x2 + y2 e DxDyu(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2(x4 + y4 )
(x2 + y2 )
y
(x 2 + y 2 ) 2
Tutto ciò in senso classico in Ω \ {(0, 0)} , ma non è difficile vedere che tutte le derivate trovate
fungono da derivate deboli in Ω (cioè origine compresa). Pertanto u ∈ W 2,p (Ω) per ogni p < +∞
e, osservato che u = 0 su Γ , deduciamo che, per ogni p finito, u è la soluzione data dalla (8.16) in
corrispondenza al dato f = −∆u . Si osservi ora che tale f è limitata mentre la derivata mista di
u non lo è. Dunque u �∈ W 2,∞ (Ω) anche se f ∈ L ∞ (Ω) , cioè la (8.16) stessa è falsa se p = +∞ .
8.5. Osservazione. Commentiamo ora, con qualche dettaglio, l’ipotesi (vaga) sulla regolarità
di Ω . In taluni casi è vera qualche variante della (8.16) anche se Ω non è regolare. Ad esempio,
se u ∈ W 1,p
0 (Ω) e ∆u ∈ L p (Ω) , allora u ∈ W 2,p (Ω) se Ω è un poligono convesso di R 2 : la
convessità compensa in qualche modo la carenza di regolarità. Tuttavia, se anche la convessità
viene a mancare, le cose vanno diversamente, come mostra l’esempio seguente, simile a quello di un
poligono, ma più facile da trattare per quanto riguarda il calcolo. Per ogni α ∈ (0, 2π) poniamo
Ω ∗ α = (0, 1) × (0, α) e Ωα = {(ρ cos ϑ, ρ sin ϑ) : (ρ, ϑ) ∈ Ω ∗ α}
e osserviamo che le funzioni v : Ωα → R e v ∗ : Ω ∗ α → R possono essere biunivocamente associate
fra loro tramite la formula v ∗ (ρ, ϑ) = v(ρ cos ϑ, ρ sin ϑ) per (ρ, ϑ) ∈ Ω ∗ α . Consideriamo la funzione
u = us − ur , ove la parte singolare us : Ω → R e la parte regolare ur : Ω → R verificano le
condizioni u ∗ s(ρ, ϑ) = ρ λ sin λϑ e u ∗ r(ρ, ϑ) = ρ 2 sin λϑ per (ρ, ϑ) ∈ Ω ∗ α . Qui λ è un parametro
reale. Chiaramente u ∈ C ∞ (Ω) ∩ C 0 (Ω) , u ∗ (1, · ) = 0 e u ∗ ( · , 0) = 0 per ogni λ > 0 . Allora
risulta u = 0 su tutta la frontiera ∂Ωα se e solo se u ∗ ( · , α) = 0 . Scegliamo quindi λ = π/α così
che u|∂Ωα = 0 . Ricordiamo ora che per ogni v ∈ C2 (Ω) valgono le due formule
(∆v) ∗ = D 2 ρv ∗ + ρ −1 Dρv ∗ + ρ −2 D 2 ϑ v∗
e (|∇v| 2 ) ∗ = |Dρv ∗ | 2 + |ρ −1 Dϑv ∗ | 2 . (8.23)
La prima delle (8.23) fornisce (∆us) ∗ (ρ, ϑ) = 0 e (∆ur) ∗ (ρ, ϑ) = (4 − λ 2 ) sin λϑ per (ρ, ϑ) ∈ Ω ∗ α .
Abbiamo pertanto u ∈ L ∞ (Ω) ⊂ L p (Ω) e −∆u ∈ L ∞ (Ω) ⊂ L p (Ω) per ogni p . Consideriamo
ora la parte regolare ur : si ha ur(x) = |x| 2 sin λϑ(x) per x ∈ Ωα ove ϑ(x) ∈ (0, α) è la seconda
coordinata polare di x . Siccome D1ϑ(x) = −x2/|x| 2 e D2ϑ(x) = x1/|x| 2 , basta un po’ di pazienza
per controllare che ur ∈ W 2,∞ (Ω) . Al contrario, per la seconda delle (8.23), abbiamo
�
|∇us| p �
dx = (|∇us| p ) ∗ �
ρ dρ dϑ = |λρ λ−1 | p ρ dρ dϑ = αλ p
� 1
ρ p(λ−1)+1 dρ
Ωα
Ω ∗ α
e addirittura non è garantita l’appartenenza di us a W 1,p (Ω) . Precisamente, se α > π , si ha
λ < 1 per cui, se p è abbastanza grande, risulta p(λ − 1) + 1 ≤ −1 e l’integrale diverge. Si noti
che la condizione α > π corrisponde proprio al caso in cui Ωα non è convesso. Concludiamo che,
con tali scelte di α e di p , la ricerca di soluzioni (anche classiche) nulle al bordo dell’equazione
−∆u = f con f ∈ L p (Ω) può condurre a funzioni u �∈ W 1,p (Ω) , dunque u �∈ W 2,p (Ω) . In tal caso
la situazione è essenzialmente diversa da quella vista nell’Esempio 8.1.
8.6. Esempio. In riferimento all’Esempio 8.1, modifichiamo la scelta del dominio D(L) traendo
suggerimento dalla formula (8.20) di integrazione per parti (uguaglianza fra primo e ultimo membro)
ma con lo scambio fra A e AT . Diciamo che una funzione u ∈ Lp (Ω) appartiene a D(L) quando
esiste w ∈ Lp (Ω) che verifica
188
�
Ω
�
w v dx =
Ω
Ω ∗ α
u(− div(A T ∇v)) dx per ogni v ∈ W 2,q (Ω) ∩ W 1,q
0 (Ω) . (8.24)
0
2 .
Gianni Gilardi