G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
Allora l’equivalenza fra le (8.17) e (8.18) è immediata. Infatti la condizione di annullamento al
bordo è la stessa; inoltre, grazie alla prima uguaglianza di (8.20), l’equazione di (8.17) implica
l’identità di (8.18); infine, sempre per la prima di (8.20), l’uguaglianza degli integrali di (8.18), già
limitatamente alle sole v ∈ C ∞ c (Ω) , implica l’equazione di (8.17) per il Lemma I.5.53.
Veniamo all’equivalenza fra le (8.18) e (8.19). La prima delle due condizioni implica la seconda,
grazie alla seconda delle uguaglianze (8.20). Viceversa vediamo come mai la (8.19) debba implicare
la (8.18). Se vale la (8.19), prendendo v generica in C ∞ c (Ω) , deduciamo, grazie all’uguaglianza fra
il primo e l’ultimo membro della (8.20), l’equazione differenziale della (8.17), dunque, per quanto
appena detto a proposito della prima equivalenza, anche l’uguaglianza degli integrali di (8.18) per
tutte le v ∈ C 2 (Ω) nulle al bordo. Rimane da vedere che la (8.19) implica anche la condizione al
bordo z|Γ = 0 , e di questo punto non diamo una giustificazione completa. Il punto della situazione
cui siamo arrivati è il seguente: per ogni v ∈ C2 (Ω) nulla su Γ valgono le due uguaglianze
�
�
�
(A∇z) · ∇v dx = gv dx e z(− div(A T �
∇v)) dx = gv dx.
Ω
Ω
Allora, confrontando con l’uguaglianza fra il secondo e il terzo membro della (8.20), deduciamo che
�
(A T ∇v) · n z dS = 0 per ogni v ∈ C2 (Ω) nulla su Γ . (8.21)
Γ
Grazie all’uniforme ellitticità (8.4), la funzione γ : Γ → R definita dalla formula γ = (AT n) · n è
regolare e verifica γ ≥ α , per cui anche 1/γ è regolare. D’altra parte ∇v = (∇v · n)n su Γ se
v = 0 su Γ , dato che il gradiente di una funzione è ortogonale ai suoi insiemi di livello. Si intuisce
allora che, per ogni ϕ : Γ → R abbastanza regolare, esiste v ∈ C2 (Ω) tale che v = 0 e ∇v·n = ϕ/γ
su Γ . Ma tale v verifica (AT ∇v) · n = (AT (∇v · n)n) · n = (∇v · n)((AT n) · n) = (ϕ/γ)γ = ϕ .
Pertanto la (8.21) deve implicare
�
z ϕ dS = 0 per ogni ϕ : Γ → R regolare
Γ
e da ciò deve seguire che z = 0 su Γ , nella filosofia del Lemma I.5.53. La dimostrazione rigorosa
e completa della (8.14) consiste nel precisare meglio l’ultima costruzione e nel rifare il tutto
nell’ambito degli spazi di Sobolev anziché nel quadro C 2 .
8.3. Esempio. Modifichiamo l’esempio precedente ambientandoci in spazi di Hölder (Esempio
I.5.46) anziché di Sobolev. Prendiamo V = W = C 0,α (Ω) con α ∈ (0, 1) e come D(L) il
sottospazio di C 2,α (Ω) costituito dalle funzioni che si annullano al bordo. Ancora l’operatore L
che si ottiene con la seconda delle (8.5) e con il nuovo dominio è chiuso e, soprattutto, ha immagine
chiusa. L’analoga della (8.9) è la disuguaglianza
Ω
�v�2,α ≤ M�Lv�0,α per ogni v ∈ D(L) (8.22)
ove la coppia di indici k, α denota ora la norma nello spazio C k,α (Ω) . Stime di questo tipo sono
dette stime di Schauder e a partire da queste si possono dimostrare risultati di esistenza e unicità
analoghi alla (8.16) nel nuovo quadro funzionale. Precisamente: per ogni f ∈ C 0,α (Ω) esiste una
e una sola u ∈ C 2,α (Ω) nulla al bordo che verifica la prima delle (8.1) con b = 0 e c = 0 .
Cogliamo l’occasione per segnalare che gli spazi C 0 (Ω) e C 2 (Ω) non funzionano in sostituzione
di C 0,α (Ω) e di C 2,α (Ω) (a meno di non essere nel caso “banale” monodimensionale), da cui
l’importanza degli spazi C k,α (Ω) con α ∈ (0, 1) e l’inadeguatezza degli spazi C k,1 (Ω) e C k (Ω) .
8.4. Osservazione. Nei dei due esempi precedenti abbiamo supposto p ∈ (1, +∞) e α ∈ (0, 1) ,
escludendo cioè i casi estremi p = 1 , p = +∞ e α = 1 . Ebbene per ciascuna di tali situazioni
esistono controesempi alla conclusione (8.16) già con L = −∆ e qui ne diamo uno.
Analisi Funzionale
Ω
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