G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
Ebbene, abbiamo che
se r ∈ (1, +∞) , z ∈ W 2,r (Ω) e g ∈ L r (Ω) , le i) , ii) e iii) sono equivalenti. (8.14)
Useremo questa equivalenza con una delle scelte r = p e r = q ed eventualmente con le matrici A
e A T scambiate fra loro. Notiamo che nella iii) non è imposta su z alcuna condizione di annullamento
al bordo in forma esplicita: tale condizione, infatti, è nascosta nell’equazione, come vedremo
nell’osservazione successiva, nella quale daremo un’idea dell’equivalenza fra le condizioni i) , ii)
e iii) . Il secondo è un risultato di regolarità:
Grazie alla (8.14) abbiamo pertanto
w ∗ , v ∗ ∈ L q (Ω) e la (8.11) implicano w ∗ ∈ W 2,q (Ω) . (8.15)
D(L ∗ ) = W 2,q (Ω) ∩ W 1,q
0 (Ω) e L∗ w ∗ = − div(A T ∇w ∗ ) per ogni w ∗ ∈ D(L ∗ ) .
Dunque L ∗ è del tutto simile a L : si scambia p con q e si prende A T anziché A . In particolare
vale l’analoga della (8.9), cioè �w ∗ �2,q ≤ M ′ �L ∗ w ∗ �q per una certa costante M ′ , e deduciamo che
L ∗ è iniettivo. Concludiamo che L è anche suriettivo. In termini più espliciti
per ogni f ∈ L p (Ω) esiste una e una sola u ∈ W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω)
verificante la prima delle (8.1) con b = 0 e c = 0 (8.16)
e la (8.9) afferma che l’operatore L −1 : L p (Ω) → W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) è continuo. Tutto ciò se
p ∈ (1, +∞) e Ω è limitato e regolare. Nel corso del paragrafo commenteremo queste ipotesi.
8.2. Osservazione. Lungi dal pretendere di dimostrare la (8.14), diamo almeno l’idea. Supponendo
z ∈ C 2 (Ω) , consideriamo le “versioni classiche” delle condizioni di cui in (8.14)
i) z|Γ = 0 e − div(A∇z) = g
�
�
(8.17)
ii) z|Γ = 0 e (A∇z) · ∇v dx = gv dx per ogni v ∈ C
Ω
Ω
2 (Ω) nulla su Γ (8.18)
�
iii) z(− div(A T �
∇v)) dx = gv dx per ogni v ∈ C2 (Ω) nulla su Γ (8.19)
Ω
Ω
e vediamo i legami fra queste. Lo strumento chiave è la formula di integrazione per parti (I.5.35).
Supponendo anche v ∈ C 2 (Ω) e osservando che z, v, A∇z, A T ∇v sono tutte funzioni, scalari o
vettoriali, di classe C 1 in quanto gli elementi aij di A sono funzioni di classe C 1 , abbiamo
�
�
�
(− div(A∇z)) v dx = (A∇z) · ∇v dx − (A∇z) · n v dS
Ω�
Ω
Γ
= (A
Ω
T �
∇v) · ∇z dx − (A∇z) · n v dS
�
Γ
= z(− div(A T �
∇v) dx + (A T �
∇v) · n z dS − (A∇z) · n v dS.
Ω
Γ
Deduciamo in particolare che
�
�
�
(− div(A∇z)) v dx = (A∇z) · ∇v dx = z(− div(A
Ω
Ω
Ω
T �
∇v) dx + (A
Γ
T ∇v) · n z dS
per ogni v ∈ C2 (Ω) nulla su Γ. (8.20)
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Γ
Gianni Gilardi