G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
Dimostrazione. Nei casi estremi p = 1 e p = +∞ la tesi è banale. Supponiamo allora p ∈ (1, +∞) .
Innanzi tutto la disuguaglianza di Young assicura che |uv| ≤ (1/p)|u| p + (1/p ′ )|v| p′ q.o in Ω , il che implica
uv ∈ L1 (Ω) . Inoltre, siccome la prima delle disuguaglianze (5.8) è chiara, dimostriamo solo la seconda
supponendo senz’altro u �= 0 e v �= 0 . Usiamo di nuovo la (5.7), ma la applichiamo a ϕ = |u|/�u�p e a
ψ = |v|/�v�p ′ . Abbiamo ϕψ ≤ (1/p) ϕp + (1/p ′ ) ψp′ q.o. e integrando otteniamo
1
�u�p �v�p ′
�
Ω
�
|uv| dµ =
Moltiplicando per �u�p �v�p ′ si conclude.
Ω
ϕψ dµ ≤ 1
�
ϕ
p Ω
p dµ + 1
p ′
�
ψ
Ω
p′
dµ = 1
p
1
+ = 1.
p ′
La disuguaglianza di Hölder è fondamentale. Proponiamo alcuni esercizi in proposito e segnaliamo
che, spesso, si dicono frasi del tipo “per la disuguaglianza di Hölder. . . ” anche se, di fatto, ci
si riferisce alle sue conseguenze che formano appunto l’oggetto di questi esercizi.
5.19. Esercizio. Dimostrare che le convergenze un → u in Lp (Ω) e vn → v in Lp′ (Ω) implicano
la convergenza unvn → uv in L1 (Ω) , in particolare �
�
Ω uv dµ = limn→∞ Ω unvn dµ .
5.20. Esercizio. Siano p1, . . . , pn, q ∈ [1, +∞] tali che 1/q = �n i=1 1/pi . Si dimostri che, se
vi ∈ Lpi (Ω) per i = 1, . . . , n , allora la funzione v1 · . . . · vn appartiene a Lq (Ω) e che vale la
disuguaglianza di Hölder generalizzata
�v1 · . . . · vn�q ≤ �v1�p1 · . . . · �vn�pn . (5.9)
5.21. Esercizio. Siano p, q, r ∈ [1, +∞] tali che p < q < r e v ∈ L p (Ω) ∩ L r (Ω) . Si dimostri
che v ∈ L q (Ω) e che vale la disuguaglianza di interpolazione
�v�q ≤ �v� ϑ p�v� 1−ϑ
r
ove ϑ ∈ (0, 1) verifica
Si deduca che, se vn → v in L p (Ω) e in L r (Ω) , allora vn → v in L q (Ω) .
1
q
ϑ 1 − ϑ
= + . (5.10)
p r
5.22. Esercizio. Si supponga µ(Ω) < +∞ e 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ . Si dimostri che, se v ∈ L q (Ω) ,
allora v ∈ L p (Ω) e vale la disuguaglianza
si deduca che, se vn → v in L q (Ω) , allora vn → v in L p (Ω) .
�v�p ≤ µ(Ω) (1/p)−(1/q) �v�q . (5.11)
5.23. Teorema (disuguaglianza di Minkowski). Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -
finito e p ∈ [1, +∞) . Se u, v ∈ L p (Ω) allora u + v ∈ L p (Ω) e risulta
�u + v�p ≤ �u�p + �v�p . (5.12)
Dimostrazione. La situazione è banale se p = 1 . Supponiamo allora p ∈ (1, +∞) . Si ha immediatamente
|u+v| ≤ 2 max{|u|, |v|} q.o, da cui u+v ∈ Lp (Ω) . Nella dimostrazione della (5.12) ancora possiamo supporre
u �= 0 e v �= 0 . Poniamo w = |u|+|v| e osserviamo che (wp−1 ) p′ = wp , per cui wp−1 ∈ Lp′ (Ω) . Applicando
la disuguaglianza di Hölder abbiamo allora
�w� p p =
�
Semplificando per �w� p/p′
p
Ω
|u| w p−1 �
dµ + |v| w
Ω
p−1 dµ ≤ �u�p �w p−1 �p ′ + �v�p �w p−1 �p ′ = � �u�p + �v�p
si conclude, in quanto p − p/p ′ = p(1 − 1/p ′ ) = 1 .
� p/p
�w� ′
.
Con la dimostrazione della disuguaglianza di Minkowski abbiamo completato la presentazione
degli spazi L p (Ω) . Tuttavia, ci preme un’osservazione.
Analisi Funzionale
p
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