G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
che D(L) è completo se munito della norma intersezione (I.6.4). Ma questa è equivalente alla norma
in W 2,p (Ω) . Dunque l’intersezione è chiusa in W 2,p (Ω) . La (8.9) ci consente di dedurre che
l’operatore L è iniettivo e la sua immagine R(L) è chiusa in L p (Ω) . (8.10)
Diamo due dimostrazioni di ciò, considerando ciascuno dei due quadri (8.6) e (8.7). Nel primo caso
vediamo che la (8.9) fornisce la (7.4) con V = W 2,p (Ω)∩W 1,p
0 (Ω) e W = L p (Ω) . Inoltre L è chiuso
in quanto è lineare e continuo su un intero spazio di Banach. Dunque si applica il Corollario 7.3
e si conclude. Mettiamoci invece nell’ottica (8.7). Allora L è un operatore non limitato chiuso
da L p (Ω) in L p (Ω) . Siamo infatti nelle condizioni della Proposizione 6.12 con V = W = L p (Ω)
se come norma � · �D(L) prendiamo appunto quella indotta da W 2,p (Ω) su W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) e
la (6.5) segue banalmente dalla (8.9). Siamo dunque nelle ipotesi del Corollario 7.3 dato che anche
la (7.4), che diventa �u�p ≤ M�Lu�p , segue banalmente dalla (8.9). Quindi ancora concludiamo.
Ricapitolando, qualunque sia l’interpretazione di L scelta fra (8.6) e (8.7), vale la (8.10). Stabilito
ciò e ricordato il Teorema 5.5, siamo nelle condizioni di applicare la (5.4): l’equazione Lu = f ha
soluzioni se e solo se f ∈ N(L∗ )⊥ .
Ora la scelta del quadro funzionale fornisce diverse nozioni di aggiunto ma non di ortogonalità in
quanto il codominio W = Lp (Ω) è lo stesso nei due casi. Ora mostriamo che anche il nucleo N(L∗ ) ,
come ci si aspetta, è lo stesso nelle due interpretazioni sebbene i due aggiunti siano diversi. Partiamo
dall’impostazione (8.7), che sembra condurre a una situazione più abbordabile. Infatti, effettuata
l’identificazione Lq (Ω) = (Lp (Ω)) ∗ tramite l’isomorfismo di Riesz, abbiamo che l’aggiunto L∗ è un
operatore (non limitato) da W ∗ = Lq (Ω) in V ∗ = Lq (Ω) che opera come segue. Sia w∗ ∈ Lq (Ω) .
Allora w∗ ∈ D(L∗ ) se e solo se esiste v∗ ∈ Lq (Ω) , necessariamente unico, tale che
�
Ω
v ∗ �
v dx =
Ω
w ∗ (− div(A∇v)) dx per ogni v ∈ W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) (8.11)
e in tali condizioni L ∗ w ∗ = v ∗ . Detto ciò, il significato di L ∗ rimane oscuro. Tuttavia noi siamo
interessati solo al nucleo e dire che w ∗ ∈ N(L ∗ ) equivale a dire che la scelta v ∗ = 0 verifica la
condizione richiesta, cioè che
�
Ω
w ∗ (− div(A∇v)) dx = 0 per ogni v ∈ W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) . (8.12)
Vediamo ora che accade se adottiamo invece l’impostazione (8.6): come preannunciato, dovremmo
arrivare alla stessa conclusione. Ben consapevoli che abusiamo della notazione se denotiamo ancora
con L ∗ l’aggiunto di L in quanto, come osservato sopra, l’aggiunto è un operatore diverso dal
precedente, abbiamo ora che L ∗ è lineare e continuo da W ∗ = L q (Ω) in V ∗ , duale dello spazio
W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) , e, se w∗ ∈ Lq (Ω) , l’elemento v∗ = L∗w∗ è l’unico v∗ ∈ V ∗ , cioè l’unico
funzionale lineare e continuo su W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
〈v ∗ �
, v〉 =
Ω
0 (Ω) , che verifica
w ∗ (− div(A∇v)) dx per ogni v ∈ W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) . (8.13)
Ma anche in questo caso siamo interessati solo al nucleo e la condizione w ∗ ∈ N(L ∗ ) , cioè v ∗ = 0
nella (8.13), equivale ancora alla (8.12). Siamo pertanto arrivati effettivamente alla stessa conclusione,
vale a dire, N(L ∗ ) è lo stesso sottospazio di L q (Ω) nelle due interpretazioni di L . Ora però
dobbiamo proprio trovare il nucleo. A questo proposito e in vista degli esempi successivi diamo una
serie di risultati. Il primo riguarda le tre condizioni seguenti, nelle quali z ∈ W 2,r (Ω) e g ∈ L r (Ω)
per un certo r ∈ (1, +∞) :
i) z ∈ W 1,r
0
ii) z ∈ W 1,r
0
iii)
�
Ω
Analisi Funzionale
(Ω) e − div(A∇z) = g
�
�
(Ω) e (A∇z) · ∇v dx =
Ω
z(− div(A T ∇v)) dx =
�
Ω
Ω
gv dx per ogni v ∈ W 1,r′
0 (Ω)
gv dx per ogni v ∈ W 2,r′ (Ω) ∩ W 1,r′
0 (Ω).
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