G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
seconde mentre la norma in W 2,p contiene tutte le derivate seconde (oltre a quelle di ordine < 2 ).
Occorre inoltre supporre 1 < p < +∞ , cioè evitare i casi estremi p = 1 e p = +∞ .
Fissiamo le ipotesi. Imponiamo ai coefficienti la regolarità che rende di classe C 1 anche i
coefficienti dell’equazione (1.13). In tal modo, da un lato, risultano corretti contemporaneamente
tutti i casi che incontreremo e, dall’altro, vale senz’altro l’interpretazione classica dei problemi dato
e aggiunto (che introdurremo) nel caso di soluzioni di classe C 2 . Tuttavia tale regolarità è sovrabbondante
e può essere indebolita di volta in volta (anche di molto, come vedremo esplicitamente in
un punto della trattazione). Nella (8.1) A è una matrice d × d di funzioni aij ∈ C 2 (Ω) , b è un
vettore con componenti bi ∈ C 1 (Ω) e c ∈ C 1 (Ω) . Supponiamo che A sia uniformemente ellittica:
(A(x)ξ) · ξ ≥ α|ξ| 2 per ogni ξ ∈ R d e ogni x ∈ Ω (8.4)
per qualche costante α > 0 . Notiamo esplicitamente che la (8.4) rimane (banalmente) inalterata
se la matrice A è sostituita dalla sua trasposta A T . Questa osservazione sarà utile nel seguito.
Lo scopo finale è quello di dare condizioni per la risolubilità del problema ai limiti (8.1). La
via passa per la costruzione di certi operatori definiti in certi domini, e la scelta non è obbligata,
nemmeno quando sia stato sostanzialmente fissato il quadro funzionale. Ad esempio, anche se si è
deciso di operare nell’ambito degli spazi di Sobolev, rimane una certa arbitrarietà nella scelta del
dominio e scelte diverse portano a diversi operatori. In ogni caso dovremo vedere se gli operatori
ottenuti hanno o meno immagine chiusa e questa verifica può passare per il fatto che essi siano
chiusi o meno. Il controllo di queste proprietà e l’identificazioni degli operatori coinvolti si basano
su stime a priori e risultati di regolarità che valgono per domini Ω regolari nelle ipotesi fatte sui
coefficienti e sull’ipotesi su p , che ribadiamo e accompagnamo a una notazione semplificativa:
p ∈ (1, +∞) e q = p ′ .
Su alcuni di questi punti, tuttavia, torneremo in un’osservazione successiva. Separiamo la trattazione
in vari spezzoni che presentiamo nella forma di esempi.
8.1. Esempio. Supponiamo dapprima b = 0 e c = 0 e definiamo D(L) e L mediante
D(L) = W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) e Lv = − div(A∇v) per v ∈ D(L) . (8.5)
Intendiamo vedere L contemporaneamente nei due aspetti
L è lineare e continuo da W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) in L p (Ω) (8.6)
L è lineare non limitato da L p (Ω) in L p (Ω). (8.7)
Naturalmente, nel primo caso, W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) è munito della norma indotta da W 2,p (Ω) .
Tuttavia serve un commento. Ricordiamo che, per definizione, W 1,p
0 (Ω) è la chiusura di C ∞ c (Ω)
in W 1,p (Ω) (vedi (II.3.6)) e osserviamo che D(L) non è W 2,p
0 (Ω) . Per esempio, se v ∈ C 2 (Ω) ,
si ha senz’altro v ∈ W 2,p (Ω) , ma risulta v ∈ W 1,p
0 (Ω) se e solo se v = 0 su Γ . Al contrario
(sempre per v ∈ C 2 (Ω) ) v appartiene a W 2,p
0 (Ω) se e solo se v = 0 e ∇v = 0 su Γ . Dunque
l’appartenenza di v al dominio D(L) dell’operatore L comporta una certa regolarità di v e
l’annullamento al bordo della sola v in un senso generalizzato. Lo scopo principale è vedere che
l’immagine R(L) è chiusa in L p (Ω) . Si possono dimostrare i fatti seguenti:
i) W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) è un sottospazio chiuso di W 2,p (Ω) (8.8)
ii) �v�2,p ≤ M�Lv�p per ogni v ∈ W 2,p (Ω) ∩ W 1,p
0 (Ω) (8.9)
per una certa costante M > 0 . Si noti che la (8.9) generalizza la (8.3), ma la sua dimostrazione,
difficile e complessa, non può trovare spazio in questa sede. Al contrario la (8.8) si controlla
facilmente, come ora mostriamo. Applichiamo il Teorema I.6.1 con V = W 2,p (Ω) , W = W 1,p
0 (Ω) e,
ad esempio, Z = W 1,p (Ω) nella costruzione dello spazio intersezione e il Teorema II.1.6. Deduciamo
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Gianni Gilardi