G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

8. Un problema di tipo ellittico
I teoremi fondamentali di Banach
In questo paragrafo applichiamo i risultati precedenti allo studio del problema di Dirichlet omogeneo
(cioè con dato al bordo nullo) per un’equazione del secondo ordine di tipo ellittico, per semplicità
in ambito reale. La scelta del quadro funzionale fa intervenire sia gli spazi di Sobolev sia equazioni
alle derivate parziali, sulla cui teoria si è detto abbastanza poco. Occorrerà pertanto che il lettore
faccia qualche atto di fede e accetti alcune affermazioni date senza dimostrazione. Il problema che
intendiamo studiare è il seguente
− div(A∇u) + b · ∇u + cu = f in Ω e u = 0 su Γ (8.1)
ove Ω è un aperto di R d limitato e “regolare” (senza precisazioni ulteriori), Γ è il bordo ∂Ω di Ω ,
A = (aij) è una matrice d × d di funzioni aij : Ω → R e b = (bi) e c sono funzioni definite in Ω
a valori in R d e in R rispettivamente. Supporremo poi verificata l’ipotesi di ellitticità (IV.1.15),
che richiamiamo tra breve per comodità del lettore.
La seconda delle (8.1) è detta condizione di Dirichlet ed è una, la più semplice, delle condizioni
al bordo che si possono affiancare a un’equazione di tipo ellittico del secondo ordine, per la quale si
deve assegnare una condizione in ogni punto del bordo se si vuole sperare di ottenere un problema
ben posto, come già abbiamo osservato nell’Esempio 1.25.
A livello introduttivo consideriamo il caso monodimensionale e nella situazione più semplice
possibile: Ω = (0, ℓ) , con ℓ ∈ (0, +∞) , A = 1 , b = 0 e c = 0 . Le (8.1) diventano
−u ′′ = f e u(0) = u(ℓ) = 0. (8.2)
Premettiamo la dimostrazione di una disuguaglianza per funzioni di classe C 1 :
�v�∞ ≤ �v ′ �1 se vale una delle condizioni v(0) = 0 oppure
� ℓ
v(x) dx = 0.
Nel primo caso, infatti, basta scrivere v(x) = � x
0 v′ (t) dt , prendere il modulo e maggiorare. Nel
secondo scriviamo v(x) = v(y) + � x
y v′ (t) dt . Integrando in (0, ℓ) rispetto a y otteniamo
� ℓ�
ℓv(x) =
� x
0
y
v ′ �
(t) dt dy da cui ℓ|v(x)| ≤
� ℓ��
ℓ
0
0
0
|v ′ �
(t)| dt dy = ℓ�v ′ �1
e concludiamo. Sia ora u di classe C 2 con u(0) = u(ℓ) = 0 . Allora abbiamo sia � ℓ
0 u′ (x) dx = 0
sia u(0) = 0 . Segue che
�u ′ �∞ ≤ �u ′′ �1 e �u�∞ ≤ �u ′ �1 ≤ ℓ�u ′ �∞ ≤ ℓ�u ′′ �1 .
D’altra parte la disuguaglianza di Hölder fornisce �v�p ≤ ℓ 1/p �v�∞ e �v�1 ≤ ℓ 1/p′
�v�p . Combinando
deduciamo facilmente una disuguaglianza del tipo
�u�2,p ≤ M�u ′′ �p = M�−u ′′ �p
ove p è arbitrario in [1, +∞] e M dipende solo da p e da ℓ .
Con questo calcolo elementare abbiamo solo voluto mettere in evidenza come, grazie alle condizioni
di Dirichlet, l’intera norma in W 2,p di u possa essere stimata in funzione della norma in
L p della sola funzione −u ′′ . Nel caso multidimensionale le cose non sono così semplici, nemmeno
quando i coefficienti sono costanti. Infatti, già nel caso più elementare in cui il primo membro
della (8.1) sia −∆u (il laplaciano cambiato di segno, corrispondente al fatto che A è la matrice
identità e all’assenza di termini di ordine inferiore) l’operatore è una certa combinazione di derivate
Analisi Funzionale
(8.3)
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