G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
7.30. Applicazione. Consideriamo ora un problema in una dimensione, ma relativo a un’equazione
del secondo ordine in cui compaiono anche termini di ordine inferiore. Prendiamo Ω = (0, ℓ)
ove ℓ è un parametro reale positivo. Prendiamo inoltre i coefficienti costanti e scegliamoli in modo
la situazione che si crea non sia banale e che, nello stesso tempo, i calcoli necessari tornino comodi.
Una possibile scelta che realizza entrambe le aspettative è data dal problema variazionale seguente
�
u ∈ H 1 0 (Ω) e (u
Ω
′ v ′ + 2u ′ v − 2uv) dx = 〈f ∗ , v〉 per ogni v ∈ H1 0 (Ω)
ove f ∗ ∈ H1 0 (Ω)∗ è assegnato. Ricordato che l’immersione di H1 0 (Ω) in L2 (Ω) è compatta per il
Teorema IV.3.20 di Rellich-Kondrachov, il problema rientra nel Teorema 7.26 con le scelte
�
V = H 1 0 (Ω) , H = L 2 (Ω) e a(u, v) =
e il problema aggiunto (7.22) diventa
�
w ∈ H 1 0 (Ω) e
Ω
(u
Ω
′ v ′ + 2u ′ v − 2uv) dx
(w ′ v ′ + 2wv ′ − 2wv) dx = 0 per ogni v ∈ H1 0 (Ω) .
Saremo poi particolarmente interessati al caso in cui f ∗ ∈ H (nel senso dell’identificazione di H a
un sottospazio di V ∗ nella costruzione della terna hilbertiana), cioè nel caso in cui f ∗ sia costruito
a partire da f ∈ L2 (Ω) con la formula
〈f ∗ �
, v〉 =
fv dx per v ∈ V .
Ω
In tal caso, siccome C∞ c (Ω) è denso in H1 0 (Ω) per definizione di H1 0 (Ω) , il problema dato si scrive
in termini espliciti come problema per un’equazione del secondo ordine. Scriviamo tale problema
insieme all’esplicitazione del corrispondente problema aggiunto:
u ∈ V e − u ′′ + 2u ′ − 2u = f (7.26)
w ∈ V e − (w ′ + 2w) ′ − 2w = 0 (7.27)
ove le equazioni valgono in Ω e sono intese nel senso delle distribuzioni.
conviene enunciare due fatti che, tuttavia, non dimostriamo:
Prima di proseguire
i) le distribuzioni che risolvono un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti
con secondo membro continuo sono tutte e sole le funzioni di classe C2 che risolvono
l’equazione in senso classico, e ciò vale, in particolare, per la (7.27);
ii) lo spazio H1 (0, ℓ) è immerso in C0 [0, ℓ] con immersione continua e V coincide con il
sottospazio delle funzioni v ∈ H1 (0, ℓ) tali che v(0) = v(ℓ) = 0.
Dunque: i) le soluzioni del problema (7.27) possono essere calcolate per via elementare; ii) le due
condizioni u ∈ V e w ∈ V significano che u e w (hanno una certa regolarità e) si annullano
negli estremi 0 ed ℓ (condizioni di Dirichlet omogenee). Ma veniamo alla risoluzione di (7.27).
Siccome le radici caratteristiche sono −1 ± i , si trova w(x) = ce−x sin x ove c ∈ R va ricercato
in modo che w(ℓ) = 0 . Allora si danno due casi: i) ℓ non è multiplo di π ; ii) ℓ è multiplo
di π . Nel primo si ha necessariamente c = 0 così che l’unica soluzione del problema aggiunto è
w = 0 e la (7.21) ha soluzione per ogni f ∗ ∈ V ∗ . In particolare il problema (7.26) ha soluzione
per ogni f ∈ L2 (0, ℓ) . Si noti inoltre che tale soluzione è unica in quanto il problema omogeneo
associato (cioè con f = 0 ) ha solo la soluzione nulla. Nel secondo caso, invece, lo spazio delle
soluzioni del problema aggiunto (7.27) ha dimensione 1 , un generatore essendo dato dalla formula
w0(x) = e−x sin x . Allora l’equazione la (7.21) ha soluzione se e solo se 〈f ∗ , w0〉 = 0 . In particolare
il problema (7.26) ha soluzione se e solo se
� ℓ
f(x) e −x sin x dx = 0.
0
Si noti inoltre che la soluzione non è unica: infatti il corrispondente problema omogeneo ha soluzioni
non banali, precisamente tutte e sole le funzioni multiple della funzione u0 data dalla formula
u0(x) = e x sin x . Notiamo infine che le conclusioni ottenute concordano con l’Osservazione 7.27.
Analisi Funzionale
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