G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
7.27. Osservazione. Più precisamente vale l’uguaglianza dim N(L) = dim N(L∗) , che tuttavia
non dimostriamo. In particolare N(L) = {0} se e solo se N(L∗) = {0} e deduciamo la conseguenza
notevole seguente: il problema (7.21) ha, per ogni f ∗ ∈ V ∗ , una e una sola soluzione se e solo se
esso ha, con f ∗ = 0 , solo la soluzione nulla.
7.28. Osservazione. La decomposizione di L in accordo con le ipotesi del Teorema 7.22 utilizzata
nella dimostrazione precedente non è l’unica possibile e nelle applicazioni può essere opportuno
considerare decomposizioni diverse, per cui conviene cercare condizioni che, quando l’immersione
di V in H è compatta, assicurino la compattezza di un operatore K ∈ L(V ; V ∗ ) . Ne mettiamo in
evidenza due: i) K ha un prolungamento � K ∈ L(H; V ∗ ) ; ii) K si fattorizza come j ◦ K0 , ove
j è l’immersione di H in V ∗ e K0 ∈ L(V ; H) . Nel primo caso vediamo K come la composizione
K = � K ◦ ι ove ι : V → H è l’immersione e deduciamo che K è compatto per l’Esercizio 7.15. Nel
secondo, la compattezza segue ancora dall’esercizio appena citato se dimostriamo che
anche l’immersione di H in V ∗ è compatta. (7.24)
Dimostriamo tale proprietà sfruttando ancora una volta la riflessività degli spazi di Hilbert. Per
l’Esercizio 7.19 basta verificare l’analoga della (7.16) con v = 0 : se vn ⇀ 0 in H allora vn → 0
in V ∗ . Sia R : V → V ∗ l’isomorfismo di Riesz. Se u ∈ V e Ru ∈ H abbiamo
Applicando ciò a u = R −1 vn otteniamo
�u� 2 = 〈Ru, u〉 = (Ru, u) ≤ |Ru| |u|.
�vn� 2 ∗ = �R −1 vn� 2 ≤ |vn| |R −1 vn|
e, siccome {vn} è limitata in H in quanto debolmente convergente in H (Corollario 2.4 al Teorema
di Banach-Steinhaus), per concludere basta dimostrare che R −1 vn → 0 in H . Applichiamo
la Proposizione IV.4.7 all’immersione continua di H in V ∗ e all’operatore R −1 ∈ L(V ∗ ; V ) :
da vn ⇀ 0 in H deduciamo successivamente vn ⇀ 0 in V ∗ e R −1 vn ⇀ 0 in V . Siccome
l’immersione di V in H è compatta, concludiamo che R −1 vn → 0 in H usando l’Esercizio 7.18.
Diamo subito due applicazioni del Teorema 7.26 a due semplici problemi differenziali. Nel
prossimo paragrafo trattiamo con un certo dettaglio un problema differenziale usando le varie
impostazioni possibili e non solo il Teorema 7.26.
7.29. Esempio (seguito dell’Esempio 7.6). Riprendiamo il problema di Neumann (7.8), trattato
nell’Esempio 7.6, del quale seguiamo ipotesi e notazioni. Riscriviamolo nella forma
�
(A∇u) · ∇v dx. (7.25)
u ∈ H 1 (Ω) e a(u, v) = 〈F, v〉 per ogni v ∈ H 1 (Ω) ove a(u, v) =
La terna hilbertiana (V, H, V ∗ ) è costruita con V = H 1 (Ω) e H = L 2 (Ω) e, siccome Ω è limitato
e regolare, l’immersione di V in H è compatta per il Teorema IV.3.20 di Rellich-Kondrachov. Verifichiamo
la coercività debole, cioè una disuguaglianza del tipo (7.19). Grazie alla (7.12), abbiamo
addirittura per ogni λ > 0
a(v, v) + λ|v| 2 ≥ α�∇v� 2 2 + λ�v� 2 2 ≥ min{α, λ}�v� 2 per ogni v ∈ V .
Siccome (A(x)ξ) · η = (A(x) T η) · ξ per ogni ξ, η ∈ Rd e q.o. in Ω , la (7.22) diventa la condizione
w ∈ H 1 �
(Ω) e (A T ∇w) · ∇v dx = 0 per ogni v ∈ V .
Ω
Questa è certamente verificata se w è costante. Viceversa, se w ne è una soluzione, scegliendo
v = w e usando l’uniforme ellitticità, deduciamo ∇w = 0 q.o. in Ω , cioè che w è costante, dato che
Ω è connesso. Lo spazio delle soluzioni w del problema aggiunto (7.22), dunque, è generato dalla
funzione w = 1 e la condizione necessaria e sufficiente perché il problema (7.25) abbia soluzioni è
〈F, 1〉 = 0 . Se poi tale condizione è soddisfatta, la soluzione è determinata a meno dell’aggiunta di
una soluzione del problema omogeneo, cioè di una costante (sempre grazie all’ellitticità).
180
Ω
Gianni Gilardi