G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
Dimostrazione. Siano L, L∗ ∈ L(V ; V ∗ ) gli operatori associati alle forme a e a ∗ tramite la Proposizione
III.2.8. Abbiamo dunque
〈Lu, v〉 = a(u, v) e 〈L∗u, v〉 = a ∗ (u, v) per ogni u, v ∈ V
per cui la condizione di risolubilità affermata nella prima parte dell’enunciato si scrive come
R(L) = N(L∗) ⊥ . (7.23)
Grazie al Teorema 5.5, basta dimostrare i due punti seguenti: i) vale l’uguaglianza N(L ∗ )⊥ = N(L∗) ⊥ ;
ii) l’immagine R(L) è chiusa.
i) Vediamo il legame fra L∗ e l’aggiunto L ∗ ∈ L(V ∗∗ ; V ∗ ) di L . Detto J : V → V ∗∗ l’isomorfismo
canonico di V , per ogni u, v ∈ V abbiamo
〈L ∗ Ju, v〉 = 〈Ju, Lv〉 = 〈Lv, u〉 = a(v, u) = a ∗ (u, v) = 〈L∗u, v〉.
Dunque L∗ = L ∗ ◦ J , per cui, per ogni v ∈ V , risulta
v ∈ N(L∗) se e solo se L∗v = 0 se e solo se L ∗ Jv = 0 se e solo se Jv ∈ N(L ∗ ).
Ciò dimostra che N(L∗) = J −1� N(L ∗ ) � . Siccome J è suriettivo per il Teorema VI.1.2, deduciamo
l’uguaglianza N(L ∗ ) = J � N(L∗) � . Sia ora v ∗ ∈ V ∗ . Allora sono via via equivalenti le condizioni:
v ∗ ∈ N(L ∗ )⊥ ; 〈v ∗∗ , v ∗ 〉 = 0 per ogni v ∗∗ ∈ N(L ∗ ) ; 〈Jv, v ∗ 〉 = 0 per ogni v ∈ N(L∗) ; 〈v ∗ , v〉 = 0
per ogni v ∈ N(L∗) ; v ∗ ∈ N(L∗) ⊥ . Dunque l’uguaglianza N(L ∗ )⊥ = N(L∗) ⊥ è dimostrata.
ii) Dimostriamo che l’immagine R(L) è chiusa. A tal fine cerchiamo di applicare il Teorema 7.22
oppure il Teorema 7.23. Per meglio apprezzare i due teoremi citati, controlliamo che riusciamo ad applicare
ciascuno dei due. Iniziamo dal Teorema 7.22. Fissato λ > 0 come nella condizione (7.19), introduciamo la
forma bilineare continua aλ : V × V → R definita dalla formula
aλ(u, v) = a(u, v) + λ〈u, v〉 per u, v ∈ V
e osserviamo che l’operatore ad essa associato è L + λi ove i : V → V ∗ è l’immersione (frutto delle
identificazioni fatte nella costruzione della terna hilbertiana). Allora possiamo scrivere L = I + K ove
I = L + λi e K = −λi . L’operatore I è un isomorfismo per il Teorema di Lax-Milgram in quanto aλ è
anche coerciva. Inoltre K è un operatore compatto per l’Esercizio 7.15, in quanto i si ottiene componendo
le due immersioni continue di V in H e di H in V ∗ , la prima delle quali è compatta. Siamo pertanto
nelle ipotesi del Teorema 7.22.
Controlliamo ora che sono verificate anche le ipotesi del Teorema 7.23 con W = V ∗ e Z = H ,
osservando che l’ipotesi di riflessività è garantita dal Teorema VI.1.2. Rimane pertanto da provare una stima
a priori di tipo (7.17). Supponiamo u ∈ V . Posto f ∗ = Lu , abbiamo f ∗ ∈ V ∗ e la (7.21). Allora
α�u� 2 ≤ a(u, u) + λ|u| 2 = 〈f ∗ , u〉 + λ|u| 2 ≤ �f ∗ �∗ �u� + λ|u| 2 ≤ (α/2)�u� 2 + (1/(2α))�f ∗ � 2 ∗ + λ|u| 2 .
Deduciamo che (α/2)�u� 2 ≤ (1/(2α))�f ∗ � 2 ∗ + λ|u| 2 , vale a dire
�u� 2 ≤ (1/α 2 )�f ∗ � 2 ∗ + (2λ/α)|u| 2 da cui �u� ≤ M(�Lu�∗ + |u|)
per una certa costante M > 0 . Dunque vale la (7.17) appunto con le scelte fatte, cioè W = V ∗ e Z = H .
Ciò conclude la doppia dimostrazione della (7.23), cioè della prima parte dell’enunciato. Ma ciascuno
dei due teoremi applicati assicura anche che hanno dimensione finita i due nuclei N(L) e N(L∗) , il che
coincide con l’ultima parte del teorema. Infatti, la dimensione finita del primo è nella tesi; d’altra parte,
siccome le due forme a e a ∗ verificano le stesse ipotesi, la stessa conclusione vale con lo scambio di a e a ∗ ,
il che scambia gli operatori L e L∗ , e otteniamo l’altra tesi.
Analisi Funzionale
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