G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
Siccome l’ultimo membro tende a 1 per n → ∞ , esiste m tale che �v�pn /�v�∞ ≤ 1 + ε per ogni n ≥ m .
Fissiamo un rappresentante di v e chiamiamolo ancora v per semplicità. Allora resta ben definito l’insieme
ω = {x ∈ Ω : |v(x)| > (1 − ε)�v�∞} , il quale è misurabile e ha misura finita e non nulla. Quindi
�v� pn
pn ≥
�
|v|
ω
pn dµ ≥ µ(ω) (1 − ε) pn �v� pn
∞
da cui
�v�pn
�v�∞
≥ (1 − ε)µ(ω) 1/pn .
Siccome limn→∞ µ(ω) 1/pn = 1 , esiste un indice m ′ tale che �v�pn /�v�∞ ≥ (1 − ε) 2 per ogni n ≥ m ′ .
Combinando con quanto abbiamo provato sopra, deduciamo che il rapporto �v�pn /�v�∞ tende a 1 , cioè
quanto si voleva dimostrare.
Supponiamo v �∈ L ∞ (Ω) e, fissato M > 0 ad arbitrio, poniamo ora ω = {x ∈ Ω : |v(x)| > 2M} .
Ancora ω ha misura finita e positiva, da cui limn→∞ µ(ω) 1/pn = 1 . Quindi possiamo scegliere m in modo
che µ(ω) 1/pn ≥ 1/2 per ogni n ≥ m . D’altra parte risulta �v�pn ≥ 2Mµ(ω)1/pn per ogni n . Per n ≥ m
abbiamo allora �v�pn ≥ M e la dimostrazione è conclusa.
5.14. Osservazione. In particolare, se una funzione v appartiene a ogni L p (Ω) con p < +∞ ,
per dimostrare che essa è limitata basta provare una stima a priori del tipo �v�p ≤ costante . Lo
stesso discorso vale per la limitatezza in L ∞ (Ω) di una successione di funzioni.
5.15. Esercizio. Siano p ∈ [1, +∞) e V lo spazio delle funzioni v : R → R misurabili e tali
che sia finita la norma definita dalla formula �v�p � x+1
= supx∈R x |v(y)| p dy . Verificare che � · � è
effettivamente una norma, mai prehilbertiana, nemmeno se p = 2 . Verificare che L∞ (R) ⊆ V con
immersione continua.
Riprendiamo il discorso lasciato in sospeso riguardante la disuguaglianza triangolare della
norma di L p (Ω) . Premettiamo una definizione e alcune disuguaglianze importanti.
5.16. Definizione. Sia p ∈ (1, +∞) . Il numero p ′ ∈ (1, +∞) definito dalla formula
1 1
+ = 1 (5.6)
p ′ p
si chiama esponente coniugato di p . Poniamo inoltre 1 ′ = ∞ e ∞ ′ = 1 .
L’ultima frase corrisponde ad accettare la (5.6) anche per p = 1 e p = ∞ con la convenzione
1/∞ = 0 . Questa convenzione sarà adottata sistematicamente nel seguito. Notiamo poi che 2 ′ = 2
e che (p ′ ) ′ = p per ogni p ammissibile.
5.17. Proposizione. Siano p ∈ (1, +∞) e a, b ≥ 0 . Allora vale la disuguaglianza di Young
ab ≤ 1
p ap + 1
p
′ bp′
. (5.7)
Dimostrazione. Supponiamo dapprima a, b > 0 e poniamo x = p ln a , y = p ′ ln b e ϑ = 1/p . Siccome
ϑ ∈ (0, 1) e la funzione esponenziale è convessa, abbiamo
ab = e ln a+ln b = e ϑx+(1−ϑ)y ≤ ϑe x + (1 − ϑ)e y = 1
Se poi uno dei due numeri reali a e b è nullo, la (5.7) vale banalmente.
p ap + 1
p
5.18. Teorema (disuguaglianza di Hölder). Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e
si supponga p ∈ [1, +∞] . Se u ∈ Lp (Ω) e v ∈ Lp′ (Ω) allora uv ∈ L1 (Ω) e risulta
14
��
�
�
Ω
� �
�
u v dµ � ≤
Ω
′ bp′
|u| |v| dµ ≤ �u�p�v�p ′ . (5.8)
.
Gianni Gilardi