G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
Si osservi che la formula effettivamente definisce L ∈ L(V ; V ∗ ) e che la (7.8) si riscrive come
Lu = F . Siccome L non è iniettivo dato che L1 = 0 (per ogni k ∈ R , denotiamo con k anche
la corrispondente funzione costante), per vedere quando la soluzione esiste cerchiamo di abbinare
i Teoremi 5.5 e 7.2 (non vi sono speranze di verificare la (7.4)). A tale scopo, osservato che L
è chiuso in quanto continuo su tutto lo spazio, cerchiamo di verificare la (7.2) nella forma (7.5).
Preliminarmente conviene caratterizzare il nucleo N(L) , cioè l’insieme delle u verificanti
u ∈ H 1 �
(Ω) e (A∇u) · ∇v dx = 0 per v ∈ H1 (Ω) . (7.11)
Ω
Chiaramente ogni costante va bene. Viceversa, u verifichi la (7.11). Osservato che la condizione
di ellitticità (IV.1.15) implica
�
�
(A∇v) · ∇v dx ≥ α |∇v| 2 dx per ogni v ∈ H1 (Ω) (7.12)
Ω
Ω
e scelta v = u nella (7.11), otteniamo ∇u = 0 q.o. in Ω . Ricordato che stiamo supponendo Ω
connesso, deduciamo che u è una costante per la (I.5.52). Detto ciò, immaginiamo di fissare u ∈ V
e scriviamo la (7.8) pensando a F = Lu : dobbiamo riuscire a scegliere v ∈ V con Lv = Lu in
modo da ottenere una stima del tipo �v� ≤ M�F �∗ con una costante M che non dipende da F
e da u . Per quanto appena visto le scelte ammissibili di v sono del tipo v = u − c con c ∈ R .
Scegliendo appunto v = u − c nella (7.8) e applicando la (7.12) abbiamo
�
α |∇(u − c)|
Ω
2 �
≤ (A∇(u − c)) · ∇(u − c) dx
�
Ω
= (A∇u) · ∇(u − c) dx = 〈F, u − c〉 ≤ �F �∗�u − c�
Ω
e risulta chiaro che, perché si possa trarre qualche conclusione, occorre una stima del tipo: il primo
membro è più grande di un multiplo di �u − c� 2 . Ciò è falso per funzioni generiche, ovviamente,
ma vero se u − c ha, ad esempio, media nulla in Ω grazie alle disuguaglianze di tipo Poincaré,
in questo caso alla seconda delle (IV.1.19) con Ω0 = Ω (Esercizio IV.1.31). Allora, se prendiamo
c = uΩ , la media di u in Ω , otteniamo per una certa costante MΩ
�
�u − uΩ� 2 = �u − uΩ� 2 1,2 ≤ MΩ
Ω
|∇(u − uΩ)| 2 ≤ MΩ
α �F �∗�u − uΩ�
da cui �u − uΩ� ≤ (MΩ/α)�F �∗ e la (7.5) vale con M = MΩ/α . Dunque L ha immagine chiusa.
Grazie al Teorema 5.5, per un dato generico F ∈ V ∗ , il problema (7.8) ha soluzione se e solo se
F ∈ N(L ∗ )⊥ . Tuttavia occorre calcolare l’aggiunto L ∗ di L e vediamo che esso opera dal biduale
H 1 (Ω) ∗∗ nel duale H 1 (Ω) ∗ , per cui la situazione è un po’ scomoda. Riservandoci di ritornare su
questo punto, anticipiamo la conclusione: F ∈ N(L ∗ )⊥ se e solo se 〈F, 1〉 = 0 . Dunque
il problema (7.8) ha soluzioni se e solo se 〈F, 1〉 = 0. (7.13)
Nel caso particolare in cui F è dato dalla (7.9), la condizione di risolubilità diventa
� �
f dx + g dS = 0. (7.14)
Ω
La soluzione, poi, non è unica: il nucleo N(L) , infatti, è costituito dalle costanti.
La necessità della condizione 〈F, 1〉 = 0 per l’esistenza di soluzioni del problema (7.8) può
essere ottenuta direttamente in modo immediato: basta infatti scegliere v = 1 nella (7.8). La
sua sufficienza, per nulla ovvia, può anche essere controllata anche con strumenti diversi da quelli
esposti in questi paragrafi e gli esercizi successivi aprono una parentesi su possibili vie.
Analisi Funzionale
Γ
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