G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
7.6. Esempio (un problema di Neumann non coercivo). Come applicazione concreta studiamo
un problema ellittico ancora nell’ottica dell’Esempio IV.1.25, ma ora non coercivo. Supponiamo
che Ω sia un aperto limitato connesso e regolare di R d , poniamo per comodità Γ = ∂Ω e
denotiamo con n la normale esterna. Supponiamo che la matrice A , con coefficienti aij ∈ L ∞ (Ω) ,
sia uniformemente ellittica (vedi (IV.1.15)) e scegliamo b = 0 e c = 0 . Assegnate due funzioni f
e g definite in Ω e su Γ rispettivamente, cerchiamo una funzione u definita in Ω e verificante
− div(A∇u) = f in Ω e (A∇u) · n = g su Γ . (7.6)
Segnaliamo che la condizione al bordo nella (7.6) è detta condizione di Neumann. Tutto ciò è formale
a va precisato. Tuttavia noi intendiamo costruire la formulazione variazionale del problema, per cui
procediamo formalmente come segue. Supponiamo che u sia una una soluzione regolare di (7.6),
moltiplichiamo per la generica funzione regolare v i due membri dell’equazione (7.6) e integriamo
l’uguaglianza ottenuta su Ω . Allora, grazie alla (I.5.35) con w = A∇u , otteniamo
� �
�
�
fv dx = (− div(A∇u)) v dx = (A∇u) · ∇v dx − (A∇u) · n v dS
Ω�
Ω �
Ω
Γ
= (A∇u) · n v dS − gv dS
Γ
per cui u verifica
�
�
(A∇u) · ∇v dx =
Ω
Ω
Γ
�
fv dx + gv dS per ogni funzione regolare v . (7.7)
Γ
Siccome il primo membro della (7.7) ha senso non appena u e v appartengano ad H1 (Ω) dato che
stiamo supponendo i coefficienti di A misurabili e limitati, siamo indotti a precisare non tanto il
sistema (7.6) quanto piuttosto il problema (7.7). Dunque, il problema variazionale che consideriamo
è quello di trovare u verificante
u ∈ H 1 �
(Ω) e (A∇u) · ∇v dx = 〈F, v〉 per ogni v ∈ H1 (Ω) (7.8)
Ω
ove, in generale, il dato F è assegnato in H1 (Ω) ∗ e il caso particolare del secondo membro
della (7.7) si ottiene supponendo f ∈ L2 (Ω) e g ∈ L2 (Γ) e definendo F mediante la formula
�
F (v) =
Ω
�
fv dx +
Γ
gv dS per v ∈ H 1 (Ω) . (7.9)
Controlliamo che, effettivamente, tale formula definisce F ∈ H 1 (Ω) ∗ . Dobbiamo verificare che
il secondo membro ha senso e dipende da v in modo lineare e continuo rispetto alla topologia
di H 1 (Ω) . A questo proposito ricordiamo il Teorema di traccia (III.1.1), in base al quale ad ogni
v ∈ H 1 (Ω) è associato un ben definito elemento v|Γ ∈ L 2 (Γ) (questo è il senso del secondo fattore
dell’integrando dell’integrale su Γ della (7.9) e l’integrale ha senso) in modo che l’operatore di
traccia v ↦→ v|Γ sia lineare e continuo da H 1 (Ω) in L 2 (Γ) . Dunque F (v) ha senso e, ovviamente,
dipende linearmente da v . Detta M la norma dell’operatore di traccia, abbiamo poi
|F (v)| ≤ �f� L 2 (Ω)�v� L 2 (Ω) + �g� L 2 (Γ)�v� L 2 (Γ) ≤ (�f� L 2 (Ω) + M�g� L 2 (Γ))�v� H 1 (Ω)
e quindi F è anche continuo, cioè appartiene ad H 1 (Ω) ∗ . Studiamo dunque il problema (7.8). La
scelta naturale del quadro in cui operare è la seguente:
D(L) = V = H 1 (Ω), W = V ∗
�
e 〈Lu, v〉 = (A∇u) · ∇v dx per u, v ∈ V . (7.10)
174
Ω
Gianni Gilardi