G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
7.3. Corollario. Siano V e W due spazi di Banach e sia L : D(L) ⊆ V → W un operatore
lineare chiuso. Allora L è iniettivo e ha immagine chiusa in W se e solo se esiste M tale che
�u� ≤ M�Lu� per ogni u ∈ D(L) . (7.4)
Dimostrazione. Supponiamo L iniettivo con immagine chiusa. Allora, per il Teorema 7.2, vale la (7.2).
Ma questa coincide con la (7.4) dato che L è iniettivo. Dunque vale la (7.4). Viceversa, supponiamo che
valga la (7.4). Allora N(L) si riduce al vettore nullo. Segue che L è iniettivo. Ma allora vale anche la (7.2),
dato che essa viene a coincidere con la (7.4) valida per ipotesi. Concludiamo che L ha anche immagine
chiusa per il Teorema 7.2.
7.4. Osservazione. Notiamo che la (7.2) viene spesso scritta in una forma diversa, precisamente
dist(u, N(L)) ≤ M�Lu� per ogni u ∈ D(L)
equivalente alla (7.2). Fissato infatti u ∈ D(L) , un elemento v ∈ V appartiene a D(L) e verifica
Lv = Lu se e solo se ha la forma v = u − z con z ∈ N(L) , per cui abbiamo
inf{�v� : v ∈ D(L) e Lv = Lu} = inf{�u − z� : z ∈ N(L)} = dist(u, N(L)).
Tornando a un’ottica vicina alla (7.2), possiamo scrivere in modo equivalente
esiste M > 0 tale che, per ogni u ∈ D(L), esista v ∈ D(L) tale che
Lv = Lu e �v� ≤ M�Lu�. (7.5)
Infatti questa condizione implica la (7.2) con lo stesso M ; viceversa, se la (7.2) vale con un certo
M > 0 , possiamo prendere 2M al posto di M nella (7.5), semplicemente applicando la definizione
di estremo inferiore se Lu �= 0 e scegliendo v = 0 se Lu = 0 . La (7.4), poi, resta chiaramente
un caso particolare della (7.5), quello in cui è possibile scegliere proprio v = u . Notiamo che la
verifica della (7.5) corrisponde a considerare l’equazione Lv = f di incognita v , ipotizzando a
priori che una soluzione u esista e di cercare z ∈ N(L) in modo che v = u + z realizzi la stima
voluta con M indipendente da f . La (7.4), invece, corrisponde a considerare l’equazione Lu = f
e a cercare una stima a priori del tipo �u�V ≤ M�f�W , sempre con M indipendente da f , per
ogni eventuale soluzione u , anche senza preoccuparsi dell’esistenza o meno delle soluzioni.
7.5. Applicazione. Combiniamo l’uso del Teorema 7.3 con la riflessività degli spazi di Hilbert
(Teorema VI.1.2) per dare una dimostrazione alternativa del Teorema IV.1.24 di Lax-Milgram.
Conservando le ipotesi e le notazioni del teorema citato, applichiamo la Proposizione III.2.8 e
introduciamo l’operatore L ∈ L(H; H ∗ ) , che è chiuso in quanto continuo, associato alla forma a .
Abbiamo pertanto 〈Lu, v〉 = a(u, v) per ogni u, v ∈ H . Deduciamo che 〈Lu, u〉 = a(u, u) ≥ α�u� 2
per ogni u ∈ H e quindi che
�u� 2 ≤ 1 1
〈Lu, u〉 ≤
α α �Lu�∗ �u� da cui �u� ≤ 1
α �Lu�∗ per ogni u ∈ H .
Dunque vale la (7.4) e concludiamo sia che L è iniettivo sia che l’immagine R(L) è chiusa in H ∗ .
In particolare vale la (5.4). Consideriamo l’aggiunto L ∗ ∈ L(H ∗∗ ; H ∗ ) . Risulta
〈L ∗ u ∗∗ , v〉 = 〈u ∗∗ , Lv〉 per ogni u ∗∗ ∈ H ∗∗ e v ∈ H .
Supponiamo ora L ∗ u ∗∗ = 0 e, detto J : H → H ∗∗ l’isomorfismo canonico, che è suriettivo per la
riflessività di H , prendiamo u = v = J −1 u ∗∗ . Abbiamo allora
0 = 〈L ∗ u ∗∗ , v〉 = 〈L ∗ Ju, v〉 = 〈Ju, Lv〉 = 〈Lv, u〉 = a(v, u) = a(u, u) ≥ α�u� 2 = α�u ∗∗ � 2 ∗∗
e deduciamo che u ∗∗ = 0 . Concludiamo che N(L ∗ ) = {0} e la (5.4) fornisce R(L) = H ∗ .
Analisi Funzionale
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