G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
ordine ≤ k ordinate in qualche modo. Allora H k,p (Ω) è proprio il dominio della chiusura � L
dell’operatore L , chiusura che si esprime con la stessa formula v ↦→ {D α v} ove ora v ∈ H k,p (Ω)
e le derivate sono intese come limiti in L p (Ω) di derivate di approssimanti regolari (derivate forti).
A posteriori tali derivate sono esattamente le derivate deboli (Teorema “H=W”).
Un esempio di operatore lineare non chiudibile è invece il seguente: prendiamo, in ambito reale,
V = L 1 (0, 1) , W = R e D(L) = C 0 [0, 1] e definiamo Lv = v(0) per v ∈ D(L) . Allora L è
lineare e la chiusura del suo grafico in V × R è l’intero spazio V × R , che ovviamente non è un
grafico. Infatti, presa ad arbitrio la coppia (v, λ) ∈ V × R , esiste una successione {vn} di funzioni
di C ∞ c (0, 1) che converge a v in V . Allora converge a v in V anche la successione {un} data
dalla formula un(x) = vn(x) + λ(1 − nx) + . D’altra parte un ∈ D(L) e Lun = λ per ogni n , per
cui {(un, Lun)} è una successione di elementi di G(L) che converge a (v, λ) nel prodotto.
7. Immagini chiuse
Sappiamo che la (5.4) è legata al fatto che l’immagine dell’operatore in questione sia chiusa. La
discussione di questa proprietà è l’oggetto del paragrafo. Diamo risultati in due contesti differenti:
i) il primo tipo riguarda gli operatori chiusi, nell’ambito dei quali caratterizziamo la proprietà di
chiusura dell’immagine; ii) il secondo fa intervenire la nozione di operatore compatto.
Il primo risultato nella direzione i) , che enunciamo senza dimostrarlo e che pure è dovuto
a Banach, completa, nel caso di operatori chiusi, il precedente Teorema 5.5 più semplice. Noi,
tuttavia, ci accontenteremo di abbinare il Teorema 5.5 al risultato successivo il quale, sempre
nell’ambito degli operatori chiusi, caratterizza quelli a immagine chiusa per mezzo di condizioni
che, nelle applicazioni concrete, consistono in stime a priori.
7.1. Teorema (dell’immagine chiusa). Siano V e W due spazi di Banach. Sia inoltre
L : D(L) ⊆ V → W un operatore lineare, chiuso, con dominio denso in V . Allora sono equivalenti
fra loro le condizioni seguenti
i) R(L) è chiuso, ii) R(L ∗ ) è chiuso, iii) R(L) = N(L ∗ )⊥, iv) R(L ∗ ) = N(L) ⊥
ove le proprietà di chiusura in i) e in ii) sono intese in W e in V ∗ rispettivamente.
7.2. Teorema. Siano V e W due spazi di Banach e sia L : D(L) ⊆ V → W un operatore
lineare chiuso. Allora il sottospazio R(L) è chiuso in W se e solo se esiste una costante M tale che
(7.1)
inf{�v� : v ∈ D(L) e Lv = Lu} ≤ M�Lu� per ogni u ∈ D(L) . (7.2)
Dimostrazione. Poniamo per comodità V0 = D(L) e muniamo V0 della norma del grafico. Per il
Teorema 6.11, V0 è uno spazio di Banach e risulta L ∈ L(V0; W ) . Applicato allora il punto iv) del
Teorema 3.19 agli spazi V0 e W e all’operatore L e seguite le altre sue notazioni, deduciamo che R(L)
è chiuso in W se e solo se l’applicazione I −1 : R(L) → V• è continua. D’altra parte ora mostriamo che
la (7.2) equivale all’esistenza di M > 0 tale che
inf{�v�G : v ∈ D(L) e Lv = Lu} ≤ M�Lu� per ogni u ∈ D(L) (7.3)
ove � · �G è data dalla (6.3). Infatti, fissato u ∈ D(L) , se v ∈ D(L) e Lv = Lu , si ha �v�G = �v� + �Lu� .
Allora, se denotiamo con λ e λG i primi membri delle disuguaglianze (7.2) e (7.3), abbiamo λG = λ+�Lu�
e l’equivalenza delle due condizioni diventa ovvia. Basta pertanto verificare che l’esistenza di M verificante
la (7.3) equivale alla continuità di I −1 . Esplicitiamo le quantità della (7.3), osservando che, per ogni
u, v ∈ D(L) = V0 , l’uguaglianza Lu = Lv equivale a u − v ∈ N(L) , vale a dire all’uguaglianza πv = πu .
Per ogni x ∈ V• e per ogni u ∈ x abbiamo dunque
Pertanto la (7.3) diventa
inf{�v�G : v ∈ D(L) e Lv = Lu} = �πu�• = �x�• e Lu = L•x = Ix.
�x�• ≤ M�Ix� per ogni x ∈ V• cioè �I −1 w�• ≤ M�w� per ogni w ∈ R(L)
e quindi l’esistenza di M che rende vera la (7.3) equivale alla continuità di I −1 .
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Gianni Gilardi