G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
ove � · �G è la norma del grafico in D(L) definita dalla formula �v�G = �v�V + �Lv�W . Valga ora la (6.5).
Allora le due norme � · � D(L) e � · �G sono equivalenti e la completezza data dall’ipotesi i) implica la completezza
di D(L) anche rispetto alla norma del grafico. Dunque L è chiuso per il Teorema 6.11. Viceversa
supponiamo L chiuso. Allora, per lo stesso teorema, D(L) è completo rispetto alla norma � · �G . D’altra
parte valgono la i) e la disuguaglianza (6.6) già dimostrata in ogni caso. Per il Teorema dell’applicazione
aperta (Corollario VII.3.6) le due norme � · � D(L) e � · �G sono equivalenti e, di conseguenza, esiste una
costante M che rende vera la (6.5).
6.13. Proposizione. Siano V e W due spazi normati e L : D(L) ⊆ V → W un operatore
lineare. Si supponga che W sia immerso con continuità in uno spazio vettoriale topologico Z e
che L abbia un prolungamento LZ : V → Z lineare e continuo tale che D(L) = L −1
Z (W ) . Allora
L è un operatore chiuso.
Dimostrazione. Verifichiamo la (6.1). Supponiamo dunque vn ∈ D(L) per ogni n , vn → v in V e
Lvn → w in W . Dalla prima convergenza deduciamo che LZvn → LZv in Z per la continuità di LZ .
Dalla seconda, che si riscrive come LZvn → w in W dato che LZ prolunga L , deduciamo che LZvn → w
in Z grazie all’immersione continua W ⊆ Z . Per l’unicità del limite in Z concludiamo che w = LZv . Ma
w ∈ W , da cui v ∈ L −1
Z (W ) = D(L) e quindi anche w = LZv = Lv .
6.14. Esempio (spazi di Sobolev). Sia Ω un aperto di R d . Siano k un intero non negativo
e p ∈ [1, +∞] . Sia poi N il numero degli operatori D α di derivazione D α tali che |α| ≤ k e
si supponga che tali operatori siano ordinati in qualche modo così che la loro N -upla abbia un
significato preciso. Definiamo L : D(L) ⊆ L p (Ω) → L p (Ω) N così: D(L) = W k,p (Ω) e Lv = {D α v}
per v ∈ D(L) . Otteniamo un operatore chiuso. Per chi ha un minimo di dimestichezza con la teoria
delle distribuzioni la verifica più semplice passa per la Proposizione 6.13: si prende V = L p (Ω) ,
W = L p (Ω) N e Z = D ′ (Ω) N e come estensione di L l’operatore v ↦→ {D α v} da V in Z
(si riveda la Sezione I.5.66). Per questo motivo abbiamo segnalato la proposizione citata. Tuttavia
possiamo procedere direttamente controllando che vale la (6.1) nel caso in esame. Supponiamo che
vn ∈ D(L) per ogni n e che vn → v in V e Lvn → w = {wα} in W . Allora, per |α| ≤ k e
z ∈ C ∞ c (Ω) , abbiamo
�
wα z dx = lim
Ω
n→∞
�
Ω
(D α vn) z dx = lim
n→∞ (−1)|α|
�
vn D
Ω
α z dx = (−1) |α|
�
v D
Ω
α z dx
da cui v ∈ W k,p (Ω) = D(L) e w = {wα} = {D α v} = Lv . Dunque L è un operatore chiuso. Per
questo motivo, talora, in modo molto sbrigativo, si introduce W k,p (Ω) semplicemente dicendo che
si munisce della norma del grafico lo spazio delle funzioni v ∈ L p (Ω) le cui derivate nel senso delle
distribuzioni fino all’ordine k appartengono a L p (Ω) e che la completezza è ovvia.
6.15. Operatori chiudibili. Siano V e W due spazi di Banach e L : D(L) ⊆ V → W
un operatore lineare. Possiamo costruire lo spazio normato D(L) con la norma del grafico, che
denotiamo con � · �L per chiarezza. Tuttavia tale spazio in generale non sarà completo. Ora
può avvenire o meno che la chiusura del grafico di L in V × W sia essa stessa il grafico di un
operatore lineare � L . Se ciò accade, e in tal caso si dice che L è chiudibile oppure prechiuso,
l’operatore � L , detto chiusura di L , è automaticamente chiuso e lo spazio D( � L) con la norma del
grafico, che denotiamo con � · ��L , è di Banach. D’altra parte si vede facilmente che D(L) è denso
in (D( � L), � · ��L) . Dunque lo spazio di Banach (D( � L), � · ��L) è un completamento dello spazio
normato (D(L), � · �L) .
Così, se ci mettiamo nella situazione dell’Esercizio 6.7, otteniamo un operatore chiudibile, la
sua chiusura essendo l’operatore di derivazione con dominio C 1 [0, 1] . In altre parole, C 1 [0, 1]
con la sua norma naturale è il completamento dello spazio normato C 2 [0, 1] munito della norma
indotta dalla norma standard di C 1 [0, 1] .
Questa stessa situazione si presenta nell’Esempio II.3.19, nel quale abbiamo introdotto gli
spazi H k,p (Ω) : possiamo infatti prendere V = L p (Ω) , W = (L p (Ω)) N ove N è il numero delle
derivate di ordine ≤ k , D(L) = C k,p (Ω) e Lv = {D α v} , la N -upla delle derivate di v di
Analisi Funzionale
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