G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
Il fatto che (6.3) definisca effettivamente una norma e il motivo del nome che le abbiamo
attribuito sono chiariti nel risultato successivo. Naturalmente, poi, si chiamano con lo stesso nome
anche altre norme, equivalenti alla (6.3), che si usano comunemente. Ad esempio
�x� = max{�x�V , �Lx�W } oppure �x�G = (�x� 2 V + �Lx� 2 W ) 1/2 . (6.4)
La seconda di queste è prehilbertiana se tali sono le norme di V e di W . Infatti, la formula
(x, y) = (x, y)V + (Lx, Ly)W , ove ( · , · )V e ( · , · )W sono i prodotti scalari che inducono le date
norme di V e di W , definisce un prodotto scalare in D(L) che induce la norma considerata.
Nel risultato successivo, quando si parla di isometria, resta inteso che la norma in V × W è
definita dalla formula �(v, w)� = �v�V + �w�W . Se si prendono altre norme equivalenti in D(L) ,
ad esempio una delle (6.4) o altre analoghe, tutto continua a valere se si sceglie coerentemente la
norma nello spazio prodotto.
Riteniamo inoltre più che opportuno osservare che lo stesso risultato consente, in particolare,
di vedere ogni operatore L : D(L) ⊆ V → W contemporaneamente come
i) operatore non limitato da V in W
ii) operatore lineare e continuo da D(L) in W
nel primo caso nel senso letterale della Definizione III.1.11, nel secondo rispetto alla norma del
grafico in D(L) e alla norma data in W . Si noti però che, nelle due interpretazioni i) e ii) , la
nozione di operatore aggiunto è diversa: i) l’aggiunto è un operatore lineare, di solito non limitato,
definito in un sottospazio di W ∗ a valori in V ∗ ; ii) l’aggiunto è un operatore lineare e continuo
definito su tutto W ∗ e a valori nel duale dello spazio ottenuto munendo D(L) della norma del
grafico. Nei casi concreti, le due possibilità bilanciano vantaggi e svantaggi: nel primo caso può
essere facile trattare con i duali, ma vi è il problema della determinazione del dominio dell’aggiunto;
nel secondo tale problema non sussiste, ma la rappresentazione dell’aggiunto in termini concreti è
resa complessa dalla natura del suo codominio.
6.11. Teorema. Nelle ipotesi della Definizione 6.10, la (6.3) definisce una norma che rende
continuo l’operatore L da (D(L), � · �G) in (W, � · �W ) . Inoltre l’applicazione LG : D(L) → G(L)
definita dalla formula LG(x) = (x, Lx) per x ∈ D(L) è un isomorfismo isometrico di (D(L), � · �G)
sul grafico G(L) di L con la norma indotta da V × W . Infine, se V e W sono spazi di Banach,
allora (D(L), � · �G) è di Banach se e solo se L : D(L) ⊆ V → W è un operatore chiuso.
Dimostrazione. La verifica che la (6.3) effettivamente definisca una norma è di tipo standard. Vale poi
banalmente la disuguaglianza �Lx�W ≤ �x�G per ogni x ∈ D(L) , la quale mostra che L è continuo da
(D(L), � · �G) in (W, � · �W ) . Per quanto riguarda il resto del teorema, il fatto che l’applicazione LG sia un
isomorfismo isometrico è evidente, data la linearità di L . Segue allora anche l’ultima parte. Infatti D(L)
è completo rispetto alla norma del grafico se e solo se G(L) , che è uno sottospazio dello spazio di Banach
V × W , è completo rispetto alla norma indotta e ciò avviene se e solo se G(L) è un sottoinsieme chiuso
di V × W (Teorema II.1.6).
6.12. Proposizione. Siano (V, � · �V ) e (W, � · �W ) due spazi di Banach e L : D(L) ⊆ V → W
un operatore lineare. Si supponga che esista una norma � · � D(L) in D(L) che verifichi le tre condizioni
seguenti: i) (D(L), � · � D(L)) è completo; ii) l’immersione di (D(L), � · � D(L)) in (V, � · �V )
è continua; iii) L è continuo da (D(L), � · � D(L)) in (W, � · �W ) . Allora L è chiuso se e solo se
esiste una costante M > 0 tale che
�v� D(L) ≤ M(�v�V + �Lv�W ) per ogni v ∈ D(L) . (6.5)
Dimostrazione. Abbiamo �v�V ≤ c�v� D(L) e �Lv�W ≤ c�v� D(L) per una certa costante c e per ogni
v ∈ D(L) grazie alle ipotesi ii) e iii) rispettivamente. Deduciamo che
170
�v�G ≤ 2c�v� D(L) per ogni v ∈ D(L) (6.6)
Gianni Gilardi