G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
la matrice trasposta. Pertanto siamo ricondotti alla situazione precedente e possiamo dire che
l’equazione Lv = w ha soluzioni se e solo se 〈w ∗ , w〉 = 0 per ogni soluzione w ∗ dell’equazione
L ∗ w ∗ = 0 . In altre parole vale la formula
In dimensione infinita, tuttavia, le cose vanno diversamente.
R(L) = N(L ∗ )⊥ . (5.4)
5.4. Esempio. Se V è immerso con continuità in W e denso in W ma diverso da W e L
è l’immersione, allora l’aggiunto L ∗ è lineare e continuo con dominio W ∗ e opera come segue:
se w ∗ ∈ W ∗ , l’immagine L ∗ w ∗ è la restrizione di w ∗ a V . Allora, siccome V è denso in W ,
L ∗ è iniettivo e l’equazione L ∗ w ∗ = 0 ha l’unica soluzione w ∗ = 0 . Dunque il secondo membro
della (5.4) è l’intero W mentre il primo membro è V .
Si noti che, nel caso dell’esempio, R(L) non è un chiuso di W . Il risultato successivo lega la
validità della (5.4) proprio al fatto che l’immagine R(L) sia chiusa.
5.5. Teorema. Siano V e W due spazi normati e L : D(L) ⊆ V → W lineare non limitato
con dominio denso in V . Allora
(5.5)
R(L) = N(L ∗ )⊥
In particolare vale la (5.4) se e solo se il sottospazio R(L) è chiuso in W .
Dimostrazione. Dimostriamo la (5.5) controllando dapprima che
N(L ∗ ) = R(L) ⊥ . (5.6)
Sono via via equivalenti le condizioni: i) w ∗ ∈ N(L ∗ ) ; ii) w ∗ ∈ D(L ∗ ) e 〈L ∗ w ∗ , v〉 = 0 per ogni v ∈ V ;
iii) w ∗ ∈ D(L ∗ ) e 〈L ∗ w ∗ , v〉 = 0 per ogni v ∈ D(L) ; iv) w ∗ ∈ D(L ∗ ) e 〈w ∗ , Lv〉 = 0 per ogni
v ∈ D(L) ; v) w ∗ ∈ W ∗ e 〈w ∗ , Lv〉 = 0 per ogni v ∈ D(L) ; vi) w ∗ ∈ W ∗ e 〈w ∗ , w〉 = 0 per ogni
w ∈ R(L) ; vii) w ∗ ∈ R(L) ⊥ . Dunque vale la (5.6). Grazie alla seconda delle (5.3) deduciamo
N(L ∗ )⊥ = (R(L) ⊥ )⊥ = span R(L) = R(L)
cioè la (5.5). Valga ora la (5.4). Confrontandola con la (5.5), deduciamo che R(L) = R(L) , cioè che
l’immagine R(L) è chiusa. Viceversa, se R(L) è chiusa, la (5.4) viene a coincidere con la (5.5), che è stata
dimostrata in ogni caso. Dunque vale anche la (5.4).
5.6. Corollario. Siano V e W due spazi normati e L : D(L) ⊆ V → W lineare con dominio
denso in V . Allora L è suriettivo se e solo se
l’immagine R(L) è chiusa in W e l’aggiunto L ∗ è iniettivo. (5.7)
Dimostrazione. Se valgono le (5.7), allora la (5.5) fornisce R(L) = R(L) = N(L ∗ )⊥ = {0}⊥ = W .
Viceversa, supponiamo L suriettivo. Allora l’immagine coincide con W e dunque è chiusa. D’altra parte,
sempre dalla (5.5), deduciamo che N(L ∗ )⊥ = W , per cui, se w ∗ ∈ N(L ∗ ) , si ha 〈w ∗ , w〉 = 0 per ogni
w ∈ W , da cui w ∗ = 0 . Ciò mostra che l’unico elemento di N(L ∗ ) è lo zero, cioè che L ∗ è iniettivo.
6. Operatori chiusi
Dunque abbiamo spostato il problema: trovare condizioni che assicurino la chiusura dell’immagine.
La ricerca di risultati comodi nelle applicazioni che garantiscano la validità di questa condizione
porta a una classe particolare di operatori non limitati, che è l’oggetto del paragrafo.
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Gianni Gilardi