G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
5.1. Definizione. Siano V uno spazio normato, S un sottoinsieme non vuoto di V e S ∗ un
sottoinsieme non vuoto di V ∗ . Gli insiemi
S ⊥ = {f ∈ V ∗ : 〈f, x〉 = 0 per ogni x ∈ S} (5.1)
S ∗ ⊥ = {x ∈ V : 〈f, x〉 = 0 per ogni f ∈ S∗ } (5.2)
sono detti l’ortogonale di S in V ∗ e l’ortogonale di S ∗ in V .
5.2. Osservazione. Tali ortogonali, detti anche annihilatori, sono sempre sottospazi chiusi
di V ∗ e di V rispettivamente, come mostriamo tra breve. Se poi V è uno spazio di Hilbert
reale identificato al suo duale tramite l’isomorfismo di Riesz e S∗ = S , gli insiemi S⊥ e S⊥
coincidono fra loro e con l’usuale ortogonale della teoria hilbertiana. Osserviamo inoltre che, se
S∗ ⊆ V ∗ , abbiamo (S∗ ) ⊥ ⊆ V ∗∗ e risulta J(S ∗ ⊥ ) = (S∗ ) ⊥ ∩ J(V ) ove J è l’isomorfismo canonico.
Allora, se V è riflessivo e si interpreta J come identificazione, si ha (S∗ ) ⊥ = S∗ ⊥ . In generale, invece,
i due ortogonali non vanno confusi. In particolare l’ortogonale S⊥⊥ dell’ortogonale S⊥ di un
sottoinsieme S ⊆ V è un sottospazio chiuso di V ∗∗ che non va confuso con S , nemmeno quando
S è un sottospazio chiuso di V , a meno che V non sia riflessivo e identificato al biduale in modo
canonico. Per questo motivo abbiamo usato due notazioni diverse in (5.1) e (5.2), anche se in uno
stesso discorso potrebbe non capitare di usare i due ortogonali (S∗ ) ⊥ e S∗ ⊥ contemporaneamente.
Osserviamo infine che le definizioni date dipendono dallo spazio ambiente di cui l’insieme considerato
è sottoinsieme. Ad esempio, se V è a sua volta immerso in un altro spazio normato W , si
hanno due diverse nozioni di ortogonale a seconda che si pensi S come sottoinsieme di V oppure
di W : infatti i due ortogonali sono sottospazi di V ∗ e di W ∗ rispettivamente. Ciò nonostante
abbiamo preferito un simbolo semplice anche se esso non evidenzia il riferimento all’ambiente.
5.3. Proposizione. Siano V uno spazio normato, S un sottoinsieme non vuoto di V e S ∗ un
sottoinsieme non vuoto di V ∗ . Allora gli ortogonali S ⊥ e S ∗ ⊥ sono sottospazi chiusi di V ∗ e di
V rispettivamente. Inoltre
S ⊥ = (span S) ⊥ = (span S) ⊥ e (S ⊥ )⊥ = span S. (5.3)
Dimostrazione. Se f, g ∈ S⊥ , allora, chiaramente, anche ogni loro combinazione lineare appartiene a S⊥ .
Se poi fn ∈ S⊥ per ogni n e fn → f in V ∗ , allora, per ogni x ∈ S , si ha 〈f, x〉 = limn→∞〈fn, x〉 = 0 per
cui f ∈ S⊥ . Dunque S⊥ è un sottospazio chiuso di di V ∗ . Che poi S∗ ⊥ sia un sottospazio chiuso di V è
altrettanto immediato, in quanto esso è l’intersezione dei nuclei di tutti i funzionali che appartengono a S∗ e ciascuno di tali nuclei è un sottospazio chiuso. Per quanto riguarda la prima delle (5.3), osserviamo che, da
S1 ⊆ S2 segue immediatamente che S⊥ 2 ⊆ S⊥ 1 , per cui il (span S) ⊥ ⊆ S⊥ . D’altra parte, se f ∈ S⊥ , si ha
〈f, x〉 = 0 per ogni x ∈ S , dunque per ogni x ∈ span S in quanto f è lineare, dunque per ogni x ∈ span S
perché f è anche continuo, per cui f ∈ (span S) ⊥ . In particolare segue che (S⊥ )⊥ = ((span S) ⊥ )⊥ così
che la seconda delle (5.3) segue nel caso generale non appena la si sia dimostrata nel caso di un sottospazio
chiuso. Sia dunque S = V0 un sottospazio chiuso di V . Se x ∈ V0 si ha 〈f, x〉 = 0 per ogni f ∈ V ⊥
0 , per
cui x ∈ (V ⊥
0 )⊥ . Ciò mostra che V0 ⊆ (V ⊥
0 )⊥ . Supponiamo ora x0 �∈ V0 e dimostriamo che x0 �∈ (V ⊥
0 )⊥ .
Siccome V0 è un sottospazio chiuso, per il Teorema di Hahn-Banach (Corollario V.2.6), esiste f0 ∈ V ∗ tale
che 〈f0, v〉 = 0 per ogni v ∈ V0 e 〈f0, x0〉 �= 0 . Allora f0 ∈ V ⊥
0 e 〈f0, x0〉 �= 0 , cioè x0 �∈ (V ⊥
0 )⊥ .
Notiamo che l’analoga uguaglianza (S ∗ ⊥ )⊥ = span S ∗ con S ∗ ⊆ V ∗ è in generale falsa, ma
non andiamo oltre queste parole. Riprendiamo invece il discorso introduttivo. Consideriamo il
sistema lineare Ax = y , ove A è una matrice reale di m righe e n colonne, y ∈ R m è assegnato
e l’incognita è x ∈ R n . Allora è ben noto che esiste almeno una soluzione se e solo se vale la
condizione 〈y ∗ , y〉 = 0 per ogni soluzione y ∗ del sistema A T y ∗ = 0 , ove 〈y ∗ , y〉 = � m
i=1 y∗ i yi .
Consideriamo ora un operatore lineare L : V → W e cerchiamo condizioni per la risolubilità
dell’equazione Lv = w ove w ∈ W è assegnato e v ∈ V è l’incognita. Se gli spazi V e W sono
di dimensione finita, fissate due basi in V e W , l’operatore L si rappresenta per mezzo di una
matrice A e, se in V ∗ e W ∗ si prendono le basi duali corrispondenti, L ∗ si rappresenta mediante
Analisi Funzionale
167