G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
4.4. Osservazione. Per definizione, dunque, vale la (4.3) anche nel caso complesso. Conviene
però vedere come la definizione precedente sia collegata alla Definizione 4.1. Nel caso complesso,
infatti, l’identificazione di uno spazio di Hilbert con il suo duale può essere poco opportuna. Per
meglio chiarire la situazione denotiamo con L ′ il trasposto di L nel senso della Definizione 4.1.
Denotiamo inoltre con RV e RW gli operatori di Riesz, che sono isomorfismi nel caso reale e
anti-isomorfismi nel caso complesso. Partiamo dalla formula
〈L ′ w ∗ , v〉 = 〈w ∗ , Lv〉 per ogni v ∈ D(L) e w ∗ ∈ D(L ′ )
e osserviamo che D(L ∗ ) coincide con l’insieme dei w ∈ W tali che RW w ∈ D(L ′ ) . Riscriviamo
ora la formula precedente con w ∗ = RW w , osservando che, per quanto appena detto, è equivalente
far variare w ∗ in D(L ′ ) oppure w ∈ D(L ∗ ) . Abbiamo per ogni v ∈ D(L)
〈L ′ RW w, v〉 = 〈RW w, Lv〉.
Trasformiamo ora i due membri usando le definizioni degli operatori in gioco. Abbiamo
〈L ′ RW w, v〉 = (v, R −1
V L′ RW w) = (R −1
V L′ RW w, v)
〈RW w, Lv〉 = (Lv, w) = (w, Lv).
Dunque (R −1
V L′ RW w, v) = (w, Lv) e il confronto con la (4.3) fornisce
L ∗ = R −1
V L′ RW . (4.5)
Se, nel caso reale, si identificano V e W ai rispettivi duali, si ritrova L ∗ = L ′ . In caso contrario
quello è il legame fra i due operatori. Notiamo che nel caso complesso il secondo membro è la
composizione di tre operatori dei quali uno lineare e due antilineari. Il prodotto, giustamente, resta
lineare. Facciamo infine osservare che, quando i due operatori L ′ e L ∗ sono distinti perché non
si sono identificati V e W ai rispettivi duali, il nome aggiunto è di solito riservato al secondo,
mentre il primo viene più comunemente detto trasposto o duale di L .
Cogliamo l’occasione per introdurre l’importante nozione di operatore autoaggiunto, il che
corrisponde a dire che L è l’aggiunto di se stesso, cioè che L ∗ = L . L’ambito naturale è quello di
un solo spazio di Hilbert.
4.5. Definizione. Siano H uno spazio di Hilbert e L : D(L) ⊆ H → H un operatore non
limitato. Si dice che H è autoaggiunto quando L ∗ = L , cioè quando
D(L ∗ ) = D(L) e (Lw, v) = (w, Lv) per ogni v, w ∈ D(L) . (4.6)
Ribadiamo che la seconda delle (4.6) da sola ha un significato diverso, e si esprime dicendo che
L è un operatore simmetrico o un operatore hermitiano a seconda che K sia R o C : essa afferma
solo che L ∗ prolunga L e non che L ∗ e L sono lo stesso operatore. Perché L sia autoaggiunto
occorre che esso sia simmetrico o hermitiano nei due casi e che il suo dominio sia sufficientemente
grande, precisamente grande al punto che la formula (4.2), adattata al caso hilbertiano che stiamo
considerando, non produca elementi nuovi rispetto a quelli di D(L) .
5. Ortogonalità
Siano V e W due spazi di Banach e L : D(L) ⊆ V → W un operatore lineare non limitato.
Fissato w ∈ W , proprio per definizione di R(L) , l’equazione Lu = w di incognita u ∈ D(L) ha
soluzioni se e solo se w ∈ R(L) , ma ciò non dice nulla di nuovo. Si impone pertanto il problema di
trovare una caratterizzazione dell’immagine R(L) comoda nelle applicazioni, e questo è l’oggetto
del paragrafo. I risultati che daremo fanno intervenire l’aggiunto di L , per cui si richiede la densità
del dominio, e una nozione di ortogonalità che ora introduciamo riprendendo anche una definizione
che avevamo già anticipato nell’enunciato del Teorema III.3.10.
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Gianni Gilardi