G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
5.8. Esempio (funzioni misurabili limitate). Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito.
Diciamo che una funzione misurabile v : Ω → K è (essenzialmente) limitata quando esiste M ≥ 0
tale che |v(x)| ≤ M q.o. Denotiamo con L ∞ (Ω) lo spazio delle classi di funzioni misurabili
(essenzialmente) limitate, la relazione di equivalenza rispetto alla quale si forma il quoziente essendo
quella dell’uguaglianza q.o. Muniamo L ∞ (Ω) della norma definita dalla formula
�v�∞ = inf{M ≥ 0 : |v(x)| ≤ M q.o.}. (5.5)
Si ottiene uno spazio normato (non prehilbertiano se lo spazio di misura non è troppo banale...).
Il motivo della notazioni L ∞ (Ω) e � · �∞ è giustificato in seguito.
Nella definizione precedente si usa lo stesso simbolo v per una classe di funzioni misurabili e
per un suo rappresentante. Ciò giustamente può apparire impreciso, ma di solito non è ambiguo.
La stessa osservazione vale per il seguito. Si noti che, se si è dimostrato che |v(x)| ≤ M q.o., automaticamente
si ha che �v�∞ ≤ M . Segnaliamo che �v�∞ si chiama estremo superiore essenziale
di |v| e si indica anche con il simbolo sup ess |v| . Naturalmente si possono analogamente definire
l’estremo superiore essenziale e l’estremo inferiore essenziale di una qualunque funzione reale misurabile.
Tuttavia, spesso, parleremo semplicemente di estremi superiori e inferiori, tralasciando
l’aggettivo “essenziale”, e useremo le notazioni sup e inf , sempre che ciò non porti ad equivoci.
5.9. Esercizio. Dimostrare che, se u ∈ L ∞ (Ω) , si ha
�u�∞ = inf{sup |v| : v = u q.o.}
(ove inf e sup hanno qui il significato originario). Dimostrare inoltre che tale estremo inferiore e
quello della (5.5) sono di fatto dei minimi (lo stesso, ovviamente se applicati alla stessa funzione).
5.10. Esercizio. Sia {un} una successione di funzioni misurabili limitate. Dimostrare che essa
converge in L ∞ (Ω) alla funzione misurabile u se e solo se esistono funzioni misurabili vn e v
verificanti vn = un e v = u q.o. e tali che la successione {vn} converga uniformemente a v .
5.11. Esempio (funzioni continue, seguito). Sia Ω un aperto limitato di R d . Allora possiamo
considerare entrambi gli spazi C 0 (Ω) e L ∞ (Ω) e vedere il primo come sottospazio vettoriale
del secondo, l’immersione essendo la seguente: identifichiamo ogni funzione uniformemente continua
con la classe di funzioni misurabili che la contiene. Con tale immersione C 0 (Ω) risulta anche
un sottospazio di L ∞ (Ω) nel senso degli spazi normati in quanto, come si vede facilmente, vale la
formula
sup |u| = min{sup |v| : v = u q.o.},
cioè la norma di C 0 (Ω) è la restrizione a C 0 (Ω) della norma di L ∞ (Ω) .
5.12. Esercizio. Siano Ω un aperto di R d e u ∈ C 0 (Ω) . Si dimostri che
inf{sup v : v = u q.o.} = min{sup v : v = u q.o.} = sup u
in particolare che sup ess u = sup u , sia quando u è limitata superiormente sia nel caso opposto.
I simboli L ∞ (Ω) e � · �∞ sono suggeriti dal risultato che segue.
5.13. Proposizione. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito, {pn} una successione di
numeri reali ≥ 1 divergente a +∞ e v : Ω → K una funzione misurabile tale che v ∈ L pn (Ω) per
ogni n . Allora si ha
lim
n→∞ �v�pn = �v�∞ se v ∈ L∞ (Ω) e lim
n→∞ �v�pn = +∞ in caso contrario.
Dimostrazione. Supponiamo senz’altro che v non sia la funzione nulla q.o. e consideriamo il primo caso.
Fissiamo ε ∈ (0, 1) . Per n tale che pn > p1 , risulta
�v� pn
pn =
�
|v| p1 |v| pn−p1 dµ ≤ �v� pn−p1
∞ �v� p1
p1 da cui
�v�pn
�v�∞
� �
�v�p1
p1/pn
≤
.
�v�∞
Analisi Funzionale
Ω
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