G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
si dimostri che L• è un isomorfismo algebrico continuo di V• su W e si deduca che L• è un
isomorfismo e che L è un’applicazione aperta.
4. L’aggiunto di un operatore non limitato
La nozione di operatore aggiunto è stata anticipata nella Definizione V.8.1 nel caso degli operatori
lineari e continui. In questo paragrafo vogliamo considerare il caso più generale degli operatori
lineari non limitati. Se L : D(L) ⊆ V → W è un operatore lineare non limitato, la formula
da realizzare continua ad essere la (V.8.1), questa volta limitatamente agli elementi v e w ∗ che
rendono sensata la formula stessa, cioè deve risultare
〈L ∗ w ∗ , v〉 = 〈w ∗ , Lv〉 per ogni v ∈ D(L) e w ∗ ∈ D(L ∗ ) (4.1)
ove D(L ∗ ) è l’insieme degli elementi w ∗ ∈ W ∗ tali che esista un elemento di V ∗ da chiamare
L ∗ w ∗ che rende vera, per ogni v ∈ D(L) , l’uguaglianza stessa. Ma tale uguaglianza dice che L ∗ w ∗
è un funzionale lineare e continuo su V che prolunga w ∗ ◦ L . D’altra parte, ammesso che un tale
prolungamento di w ∗ ◦ L esista, questo può non essere unico, a meno che il dominio di w ∗ ◦ L non
sia denso in V . Ma il dominio di w ∗ ◦ L coincide con D(L) . Siamo dunque indotti a supporre,
nella definizione data di seguito, che il dominio dell’operatore sia denso.
4.1. Definizione. Siano V e W due spazi normati e L : D(L) ⊆ V → W un operatore lineare
non limitato il cui dominio D(L) sia denso in V . Allora diciamo che un elemento w ∗ ∈ W ∗
appartiene a D(L ∗ ) quando
esiste v ∗ ∈ V ∗ tale che 〈v ∗ , v〉 = 〈w ∗ , Lv〉 per ogni v ∈ D(L) (4.2)
e, per w ∗ ∈ D(L ∗ ) , denotiamo con L ∗ w ∗ l’unico elemento v ∗ ∈ V ∗ che verifica la formula (4.2).
L’operatore
L ∗ : D(L ∗ ) ⊆ W ∗ → V ∗ definito da w ∗ ↦→ L ∗ w ∗
è detto duale o trasposto o aggiunto di L .
4.2. Osservazione. Risulta chiaro che, per la definizione stessa, vale la (4.1) e che il dominio di
L ∗ è il più grande possibile fra i sottospazi di W ∗ che possono essere domini di operatori verificanti
la (4.1). D’altra parte, perché un elemento w ∗ ∈ W ∗ appartenga a D(L ∗ ) è necessario e sufficiente
che w ∗ ◦ L stesso sia continuo su D(L) (munito questo della topologia indotta da V ). Vediamo
allora che l’appartenenza di w ∗ ∈ W ∗ a D(L ∗ ) equivale a ciascuna delle condizioni
i) w ∗ ◦ L è continuo su D(L) rispetto alla topologia indotta da V
ii) esiste c ∈ R tale che |〈w ∗ , Lv〉| ≤ c�v�V per ogni v ∈ D(L).
Naturalmente, se V e W sono spazi di Hilbert reali identificati ai rispettivi duali tramite
l’isomorfismo di Riesz, la formula (4.1) diventa
(L ∗ w, v) = (w, Lv) per ogni v ∈ D(L) e w ∈ D(L ∗ ) (4.3)
e risulta generalizzata la (V.8.2) al caso degli operatori non limitati. Il caso degli spazi di Hilbert
complessi, tuttavia, sembra sfuggire e merita di essere approfondito.
4.3. Definizione. Siano V e W due spazi di Hilbert e L : D(L) ⊆ V → W un operatore
lineare non limitato il cui dominio D(L) sia denso in V . Allora diciamo che un elemento w ∈ W
appartiene a D(L ∗ ) quando
esiste v ′ ∈ V tale che (v ′ , v) = (w, Lv) per ogni v ∈ D(L) (4.4)
e, per w ∈ D(L ∗ ) , denotiamo con L ∗ w l’unico elemento v ′ ∈ V che verifica la formula (4.4).
L’operatore
L ∗ : D(L ∗ ) ⊆ W → V definito da w ↦→ L ∗ w
è detto aggiunto di L .
Analisi Funzionale
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