G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
3.19. Teorema. Siano V e W due spazi normati e L ∈ L(V ; W ) . Siano inoltre V• = V/N(L)
lo spazio quoziente e π : V → V• la proiezione canonica. Allora esiste una e una sola funzione
L• : V• → W tale che L = L• ◦ π . Valgono inoltre le proprietà seguenti: i) L• è lineare e
iniettiva; ii) R(L•) = R(L) ; iii) L• ∈ L(V•; W ) e �L•� = �L� ; iv) se V e W sono di Banach,
fattorizzato L• come L• = j ◦ I ove I : V• → R(L) e j : R(L) → W è l’immersione, I è un
isomorfismo se e solo se R(L) è un chiuso di W .
Dimostrazione. Per maggior chiarezza anticipiamo il diagramma delle applicazioni, date o da costruire:
W
L
↗ ↖
j
�
⏐
V ⏐ L• R(L)
π ↘ ↗ I
V•
Innanzi tutto osserviamo che N(L) è un sottospazio chiuso di V , per cui V• è un ben definito spazio
normato. Se L• : V• → W verifica L = L• ◦ π allora, per ogni x ∈ V• e v ∈ x , deve essere L•x =
L•(πx) = Lv , da cui l’unicità. Per dimostrare l’esistenza di L• , controlliamo che, per ogni x ∈ V• , la
formula L•x = Lv , ove v ∈ x , effettivamente ha senso, cioè non dipende dal rappresentante v ∈ x . Sia
infatti v ′ ∈ x un altro rappresentante. Allora v − v ′ ∈ N(L) , da cui Lv = Lv ′ . Verifichiamo che L• è
lineare. Siano x, y ∈ V• e α, β ∈ K . Siano inoltre u ∈ x e v ∈ y . Allora αu+βv ∈ αx+βy (per definizione
di struttura vettoriale nel quoziente), per cui L•(αx + βy) = L(αu + βv) = αLu + βLv = αL•x + βL•u .
L’iniettività di L• è immediata: se L•x = 0 allora Lv = 0 per ogni v ∈ x , cioè v ∈ N(L) , da cui x = N(L)
(lo zero di V• ) dato che l’inclusione fra classi di equivalenza implica la loro uguaglianza. Ciò prova la i) e la
ii) è del tutto ovvia. Passiamo alla iii) . Siano x ∈ V• e v ∈ x . Allora �L•x�W = �Lv�W ≤ �L� �v�V da
cui, passando all’estremo inferiore, �L•x�W ≤ �L� �x�• . Ciò mostra che L• è continuo che �L•� ≤ �L� .
Sia ora v ∈ V . Allora �Lv�W = �L•πv�W ≤ �L•� �πv�• ≤ �L•� �v�V , da cui �L� ≤ �L•� . Infine,
venendo a iv) , supponiamo V e W completi e osserviamo che anche V• è completo per il Teorema II.1.6 e
che I è un isomorfismo algebrico continuo. Se I è un isomorfismo, allora anche R(L) è completo, dunque
chiuso in W . Viceversa, se R(L) è chiuso in W , allora esso è completo e I è un isomorfismo algebrico
continuo dello spazio di Banach V• sullo spazio di Banach R(L) , dunque un isomorfismo per il Teorema
dell’applicazione aperta (Corollario VII.3.5).
Passiamo al prossimo teorema, anche questo dovuto a Banach, che possiamo facilmente derivare
dal Teorema dell’applicazione aperta.
3.20. Teorema (del grafico chiuso). Siano V e W due spazi di Banach e L : V → W un
operatore lineare. Se il grafico G(L) di L è chiuso in V × W , allora L è continuo.
Dimostrazione. Consideriamo l’operatore lineare L1 : V → G(L) definito da L1x = (x, Lx) e, osservato
che esso è un isomorfismo algebrico, denotiamo con I : G(L) → V il suo inverso L −1
1 . Ora notiamo
anche che G(L) è uno spazio di Banach rispetto alla norma indotta da quella dello spazio prodotto V × W
in quanto quest’ultimo è completo per il Teorema II.1.6 e G(L) è chiuso. Infine osserviamo che I è la
restrizione a G(L) dell’operatore di proiezione P : V × W → V definito da (v, w) ↦→ v , v ∈ V . Siccome
P è continuo, anche I è un operatore continuo. Dunque esso è un isomorfismo, grazie al Corollario 3.5. Ma
ciò implica che L1 = I −1 è continuo, da cui immediatamente la continuità di L .
3.21. Osservazione. Talora le conseguenze del Teorema dell’applicazione aperta vengono attribuite
al Teorema del grafico chiuso e il motivo è il seguente: se si dimostra quest’ultimo prima
dell’altro (il che si può fare), quello può essere dedotto, cioè lo stesso Teorema dell’applicazione
aperta è una conseguenza del Teorema del grafico chiuso. Nell’esercizio successivo viene data una
traccia di una possibile deduzione.
3.22. Esercizio. Siano V e W due spazi di Banach e L ∈ L(V ; W ) un’applicazione suriettiva.
i) Si supponga dapprima che L sia un isomorfismo algebrico e, applicando il Teorema del grafico
chiuso a L −1 , si dimostri che L è un isomorfismo. ii) Nel caso generale si introducano le notazioni
del Teorema 3.19 (tranne la fattorizzazione L• = j ◦I , ora inutile dato che R(L) = W per ipotesi),
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Gianni Gilardi