G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
3.15. Osservazione. Se si toglie in (3.3) la richiesta che W0 sia chiuso, si dice che W0 è
un supplementare algebrico di V0 , e ciò per un sottospazio V0 qualunque. L’esistenza di W0
segue allora facilmente dal Lemma di Zorn, come ora mostriamo. Introduciamo per comodità
una definizione: una base di Hamel di uno spazio vettoriale V è un suo sottoinsieme B ⊂ V
indipendente che lo genera, cioè tale che ogni elemento di V può essere rappresentato in uno e in
un sol modo come combinazione lineare finita di elementi di B .
Dimostriamo i due punti seguenti: i) ogni spazio vettoriale V di dimensione positiva ha una
base di Hamel; ii) se V è uno spazio vettoriale, V0 è un sottospazio di V di dimensione positiva
e B0 è una base di Hamel di V0 , allora esiste una base di Hamel B di V che include B0 . Per
dimostrare i) introduciamo la famiglia B di tutti i sottoinsiemi indipendenti di V . Questo è non
vuoto dato che, se v ∈ V \ {0} , il singoletto {v} appartiene a B . Introduciamo in B l’ordine
parziale � dicendo semplicemente che B1 � B2 significa B1 ⊆ B2 . Si verifica senza difficoltà
che (B, �) è un insieme induttivo, in quanto l’unione di una catena di B appartiene ancora a B .
Detto B un elemento massimale fornito dal Lemma di Zorn, si vede che B è una base di Hamel
di V . In caso contrario, infatti, preso v0 ∈ V \ span B , l’insieme B ∪ {v0} apparterrebbe a B e si
contraddirebbe la massimalità di B . Passando a ii) , sia ora B la famiglia di tutti i sottoinsiemi
indipendenti di V che includono la data base di Hamel B0 di V0 . La famiglia è non vuota dato
che B0 ∈ B . Introduciamo l’ordine parziale � come sopra e procediamo analogamente. Se B è
un elemento massimale di B , allora B è una base di Hamel di V che include B0 .
Dimostrato tutto ciò, l’esistenza di un supplementare algebrico di V0 segue immediatamente:
se V0 = {0} prendiamo W0 = V ; se V0 = V prendiamo W0 = {0} ; se V0 ha dimensione positiva
ed è diverso da V , prese una base di Hamel B0 di V0 e una base di Hamel B di V che include B0 ,
l’inclusione è stretta e W0 = span(B \ B0) è un supplementare algebrico di V0 .
Tornando alla questione dell’esistenza del supplementare topologico di un sottospazio chiuso
V0 di uno spazio di Banach V , notiamo non c’è motivo perché il sottospazio W0 introdotto sopra
sia chiuso, da cui la difficoltà del problema.
3.16. Esercizio. Siano V uno spazio di Banach, V0 un suo sottospazio chiuso e W0 un supplementare
topologico di V0 . Dimostrare che W0 è isomorfo a V/V0 . Dimostrare che, viceversa, se
W0 è un supplementare algebrico isomorfo a V/V0 , allora W0 è anche supplementare topologico.
3.17. Esercizio. Siano V uno spazio di Banach e V0 un suo sottospazio chiuso. Si supponga
che la cosiddetta codimensione di V0 codim V0 = dim V/V0 sia finita. Si dimostri che ogni supplementare
algebrico di V0 è anche un supplementare topologico.
3.18. Osservazione. L’esistenza di un supplementare algebrico senza ipotesi aggiuntive ci consente
di estendere al caso generale una formula ben nota nel caso della dimensione finita. Se V e
W sono spazi vettoriali e L ∈ Hom(V ; W ) allora
dim V = dim N(L) + dim R(L). (3.4)
Sia infatti Z un supplementare algebrico di N(L) . Allora l’applicazione da N(L) × Z in V
definita da (v, z) ↦→ v + z è un isomorfismo algebrico. Segue che
dim V = dim(N(L) × Z) = dim N(L) + dim Z.
D’altra parte possiamo introdurre l’operatore L0 ∈ Hom(Z; R(L)) ponendo L0z = Lz per z ∈ Z
(effettivamente L0 è lineare). Mostriamo che L0 è suriettivo. Sia infatti w ∈ R(L) . Allora
esiste v ∈ V tale che Lv = w . Decomposto v in v = v0 + z con v0 ∈ N(L) e z ∈ Z , si ha
L0z = Lz = Lv = w . Infine L0 è anche iniettivo dato che, se z ∈ N(L0) , allora z ∈ Z ∩ N(L) e
quindi z = 0 . Dunque L0 è un isomorfismo algebrico, da cui dim Z = dim R(L) e la (3.4).
Dal Teorema dell’applicazione aperta deduciamo anche un risultato generale di isomorfismo
che utilizzeremo in seguito. Sottolineiamo fin d’ora un punto: come si vede dalla dimostrazione,
l’applicazione I dell’enunciato è sempre un isomorfismo algebrico continuo e il teorema afferma
che, se V e W sono completi, I è anche un omeomorfismo se e solo se l’immagine R(L) è chiusa.
Analisi Funzionale
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