G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
Dimostrazione. Siamo nelle condizioni di considerare lo spazio somma V1 + V2 con la “norma quoziente”
� · �• definita da �v�• = inf{�v1� + �v2�} , l’estremo superiore essendo preso al variare di tutte le coppie
(v1, v2) ∈ V1 × V2 tali che v1 + v2 = v (equivalente a quella definita in (I.6.5); si veda anche
l’Osservazione I.6.4). Siccome V1 e V2 sono completi in quanto chiusi, anche V1 + V2 con tale norma
è completo per il Teorema II.1.6. D’altra parte possiamo considerare anche la norma � · � in V1 + V2 (in realtà
la restizione della norma) e osservare che �v� ≤ �v�• per ogni v ∈ V1 + V2 , come si vede considerando
tutte le decomposizioni. Allora, tenendo conto del Corollario 3.6, vediamo che sono equivalenti le affermazioni
seguenti: i) V1 + V2 è chiuso in V ; ii) V1 + V2 è completo rispetto alla norma � · � ; iii) le norme � · � e
� · �• sono equivalenti come norme in V1+V2 ; iv) esiste C > 0 tale che �v�• ≤ C�v� per ogni v ∈ V1+V2 .
Basta allora dimostrare che la iv) equivale alla condizione data dall’enunciato. Sia M come nell’enunciato
appunto e, per v ∈ V1 + V2 , siano vi ∈ Vi verificanti la (3.2). Allora �v�• ≤ �v1� + �v2� ≤ 2M�v� , cioè
vale la iv) con C = 2M . Viceversa, valga la iv) e sia C tale che �v�• ≤ C�v� per ogni v ∈ V1 + V2 .
Sia v ∈ V1 + V2 , che possiamo supporre non nullo. Allora 2C�v� > �v�• , per cui, per definizione di �v�• ,
esiste una decomposizione v = v1 + v2 di v verificante vi ∈ Vi per i = 1, 2 e �v1� + �v2� ≤ 2C�v� . Segue
che vale la condizione dell’enunciato con M = 2C .
3.11. Esercizio. Siano H uno spazio di Hilbert e V1 e V2 due sottospazi chiusi di H ortogonali
fra loro. Si ridimostri che V1 + V2 è chiuso usando il Corollario 3.10.
3.12. Esercizio. Siano V uno spazio di Banach e V1 e V2 due sottospazi chiusi di V tali che
V = V1 ⊕ V2 . Se v ∈ V e v = v1 + v2 è la decomposizione (unica) di v nella somma di due
elementi vi ∈ V1 , i = 1, 2 , si ponga Piv = vi per i = 1, 2 . Si dimostri che P1 e P2 sono operatori
lineari e continui.
3.13. Osservazione. L’esercizio precedente può suggerire un problema: dati uno spazio di Banach
V e un suo sottospazio chiuso V0
trovare un altro sottospazio chiuso W0 di V tale che V = V0 ⊕ W0. (3.3)
Ogni soluzione W0 di (3.3) è detta supplementare topologico di V0 . Notiamo anche che, se
V è uno spazio di Hilbert, l’esistenza di W0 è immediata: si può infatti prendere W0 = V ⊥
0 .
Invece, il problema generale (3.3) nell’ambito degli spazi di Banach può non avere soluzioni, cioè un
sottospazio chiuso di uno spazio di Banach può non avere supplementari topologici, e un esempio
è il seguente: V = ℓ∞ e V0 = (c0) , il sottospazio delle successioni infinitesime. Infatti è stato
dimostrato (R.S. Phillips) che (c0) non ha supplementari topologici in ℓ∞ . Il problema è più che
mai spinoso dato che è stato pure dimostrato (Lindenstrauss-Tzafriri) che, se V è uno spazio di
Banach tale che ogni suo sottospazio chiuso abbia un supplementare topologico, allora V ha una
norma hilbertiana equivalente.
3.14. Proposizione. Sia V uno spazio normato. Allora ogni suo sottospazio V0 di dimensione
finita ha un supplementare topologico W0 .
Dimostrazione. Se V0 = {0} prendiamo W0 = V . Sia ora dim V = n > 0 . Siano {e1, . . . , en} una
base di V0 e {e1 , . . . , en } la corrispondente base duale (vedi (III.3.1)). Per i = 1, . . . , n il funzionale
ei ∈ V ∗
0 ha un prolungamento fi ∈ V ∗ per il Teorema di Hahn-Banach (Corollario V.2.6). Verifichiamo che
l’intersezione W0 dei nuclei N(fi) è un supplementare topologico di V0 . Innanzi tutto W0 è un sottospazio
chiuso in quanto intersezione di sottospazi chiusi. Sia ora v ∈ V . Poniamo v0 = �n j=1 〈fj, v〉 ej . Allora
v0 ∈ V0 . D’altra parte v − v0 ∈ W0 , come ora verifichiamo. Per i = 1, . . . , n si ha
〈fi, v0〉 =
n�
〈fj, v〉 〈fi, ej〉 =
j=1
n�
〈fj, v〉 〈e i , ej〉 =
j=1
n�
〈fj, v〉 δij = 〈fi, v〉
da cui 〈fi, v − v0〉 = 0 . Infine controlliamo che V0 ∩ W0 = {0} . Sia v ∈ V0 . Allora v = � n
j=1 cjej per certi
cj ∈ K e 〈fi, v〉 = ci per i = 1, . . . , n grazie a un calcolo identico al precedente. Dunque, se v appartiene
anche a W0 , abbiamo ci = 0 per ogni i e di conseguenza v = 0 .
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j=1
Gianni Gilardi