G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
Dimostriamo che B ′ r ⊆ L(B1) . Fissiamo dunque w ∈ B ′ r e cerchiamo v ∈ B1 tale che Lv = w .
Siccome B ′ 2r ⊆ L(B1) abbiamo anche B ′ 2λr ⊆ L(Bλ) per ogni λ > 0 . Ciò significa che
per ogni λ > 0 , ogni y ∈ B ′ 2λr e ogni ε > 0 esiste x ∈ Bλ tale che �y − Lx� < ε .
Usiamo ricorsivamente questa affermazione per costruire un’opportuna successione {xn} di elementi di V .
Prendiamo λ = 1/2 , y = w e ε = r/2 , osservando che tale y è ammesso in quanto B ′ 2λr = B′ r : troviamo
x1 ∈ B 1/2 tale che �w − Lx1� < r/2 . Prendiamo ora λ = 1/4 , y = w − Lx1 e ε = r/4 osservando che tale
y è ammesso in quanto ora B ′ 2λr = B′ r/2 e w − Lx1 ∈ B ′ r/2 per costruzione: troviamo x2 ∈ B 1/4 tale che
�w − Lx1 − Lx2� < r/4 . Procedendo ricorsivamente veniamo a costruire una successione {xn} di elementi
di V che verifica
�xn� < 2 −n
e
�
�
�w −
n� �
�
Lxk�
< r 2 −n per ogni n .
k=1
Deduciamo che �∞ alla completezza di V (Teorema II.1.2). Abbiamo inoltre
n=1 �xn� < +∞ per cui la formula v = � ∞
∞�
∞�
�v� ≤ �x1� + �xn� ≤ �x1� + 2 −n = �x1� + 1
< 1
2
n=2
n=2
n=1 xn effettivamente definisce v ∈ V grazie
cioè v ∈ B1 . Ma la definizione di v implica anche � n
k=1 Lxk → Lv in quanto L ∈ L(V ; W ) . D’altra parte
� n
k=1 Lxk → w . Concludiamo che Lv = w . Dunque B ′ r ⊆ L(B1) e la dimostrazione è conclusa.
3.5. Corollario. Siano V e W due spazi di Banach e L ∈ Hom(V ; W ) un isomorfismo algebrico.
Se L è continuo allora L è un isomorfismo
Dimostrazione. Occorre solo dimostrare che L −1 : W → V è una funzione continua. Sia dunque A
un aperto di V : dobbiamo dimostrare che sua la controimmagine (L −1 ) −1 (A) tramite L −1 è un aperto
di W . Ma (L −1 ) −1 (A) = L(A) e L(A) è un aperto di W per il Teorema dell’applicazione aperta.
3.6. Corollario. Siano V uno spazio vettoriale e � · � ′ e � · � ′′ due norme in V tali che esista
una costante C > 0 tale che �x� ′′ ≤ C�x� ′ per ogni x ∈ V . Se V è completo rispetto ad entrambe
le norme, allora queste sono equivalenti.
Dimostrazione. L’ipotesi sulla disuguaglianza fra le norme significa che l’identità, come operatore da
(V, � · � ′ ) in (V, � · � ′′ ) , è continua. Il corollario precedente assicura allora che essa è un isomorfismo, cioè
che le due norme sono equivalenti.
3.7. Esercizio. Si ridimostri, usando il Corollario 3.6, che, per 1 ≤ p < +∞ , lo spazio C 0 [0, 1]
munito della norma indotta da L p (0, 1) non è completo.
3.8. Esercizio. Usando il Corollario 3.6, dimostrare che lo spazio L1 (R) non è completo rispetto
� n+1
alla norma definita dalla formula �v� = supn∈Z n |v(x)| dx . Descrivere un completamento.
3.9. Corollario. Siano Z uno spazio vettoriale topologico e V un sottospazio vettoriale di Z .
Se due norme in V
sono equivalenti.
rendono sia V completo sia le immersioni di V in Z continue, allora esse
Dimostrazione. Siano � · � ′ e � · � ′′ le due norme. Siamo nelle condizioni di costruire lo spazio intersezione
dei due spazi normati (V, � · � ′ ) e (V, � · � ′′ ) (vedi Teorema I.6.1), cioè lo stesso spazio vettoriale V ,
ma munito, ad esempio, della norma � · � = � · � ′ + � · � ′′ . Per il Teorema II.1.6, anche (V, � · �) è uno spazio
di Banach. Allora possiamo applicare il corollario precedente e concludere che ciascuna delle due norme di
partenza è equivalente alla terza. Quindi esse sono equivalenti fra loro.
3.10. Corollario. Siano V uno spazio di Banach e V1 e V2 due sottospazi chiusi di V . Allora
il sottospazio somma V1 + V2 è chiuso se e solo esiste una costante M > 0 tale che per ogni
v ∈ V1 + V2 esistono v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2 tali che
Analisi Funzionale
v = v1 + v2 e �vi� ≤ M�v� per i = 1, 2 . (3.2)
161