G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
3.1. Lemma. Siano V e W due spazi di Banach. Un operatore L ∈ L(V ; W ) è un’applicazione
aperta se e solo se vale la condizione
l’immagine della palla unitaria di V contiene una palla di W centrata nell’origine. (3.1)
Dimostrazione. Introduciamo qualche notazione per semplificare il linguaggio. I simboli Br(x) e B ′ r(x)
denotano, rispettivamente, l’usuale palla di raggio r e centro x ∈ V e l’analoga palla ma di centro x ∈ W .
Poniamo inoltre Br = Br(0) e B ′ r = B ′ r(0) . Se L è un’applicazione aperta, siccome B1 è un aperto di V ,
la sua immagine L(B1) è un aperto di W . D’altra parte 0 = L0 ∈ L(B1) . Dunque vale la (3.1).
Viceversa, supponiamo che valga la (3.1) e sia r > 0 tale che B ′ r ⊆ L(B1) . Sia A un aperto di V :
dimostriamo che L(A) è un aperto di W . Sia w ∈ L(A) ad arbitrio: dobbiamo costruire una palla del tipo
B ′ ρ(w) inclusa in L(A) . Siano v ∈ A e δ > 0 tali che Lv = w e Bδ(v) ⊆ A . Poniamo (con le notazioni
del Paragrafo I.1) A0 = (1/δ)(A − v) = {x ∈ V : v + δx ∈ A} . Allora A0 è aperto e B1 ⊆ A0 , per cui
L(B1) ⊆ L(A0) . Per la scelta iniziale di r deduciamo che B ′ r ⊆ L(A0) da cui anche
e la dimostrazione è conclusa.
B ′ rδ(w) = w + δB ′ r ⊆ w + δL(A0) = Lv + L(δA0) = L(v + δA0) = L(A)
3.2. Esempio. Siano V uno spazio normato, V0 un suo sottospazio chiuso e V• = V/V0 lo
spazio quoziente con la norma quoziente � · �• . Mostriamo che la proiezione canonica π : V → V•
è aperta verificando la (3.1). Sia infatti x ∈ V• tale che �x�• < 1/2 . Per definizione di � · �• , esiste
v ∈ x tale che �v� < 1 . Allora tale v appartiene alla palla unitaria di V e si ha πv = x . Ciò
mostra che la palla B 1/2(0) di V• è inclusa nell’immagine π(B1(0)) della palla unitaria di V .
L’esempio successivo riguarda invece un’applicazione lineare continua e suriettiva (addirittura
biiettiva) che non è aperta (necessariamente a causa della non-completezza del codominio).
3.3. Esempio. Siano V e W lo spazio C 1 [0, 1] , ma il primo con la norma usuale e il secondo
con la norma del massimo. Sia L : V → W l’applicazione identica. Allora L ∈ L(V ; W ) ma L
non è un’applicazione aperta. Infatti, se lo fosse, sarebbe un isomorfismo per cui W , come V ,
sarebbe completo, il che non è.
3.4. Teorema (dell’applicazione aperta). Siano V e W due spazi di Banach. Se un operatore
L ∈ L(V ; W ) è suriettivo, allora esso è un’applicazione aperta.
Dimostrazione. Grazie al lemma, di cui conserviamo senz’altro le notazioni, basta dimostrare la (3.1).
Osserviamo che, se S ⊆ V , S ′ ⊆ W , v0 ∈ V , w0 ∈ W e λ �= 0 , allora S e v0 + λS sono omeomorfi così
come S ′ e w0 + λS ′ e
L(v0 + λS) = Lv0 + λL(S) e L(v0 + λS) = Lv0 + λL(S).
Dimostriamo ora la (3.1) in due tappe: i) dimostriamo che la chiusura L(B1) contiene una palla B ′ 2r per
un certo r > 0 ; ii) dimostriamo che B ′ r ⊆ L(B1) rimuovendo così il segno di chiusura.
Dimostriamo i) . Siccome L è suriettivo, per ogni w ∈ W esiste v ∈ V tale che Lv = w . Se n > �v�
allora v ∈ Bn e dunque w ∈ L(Bn) . Ciò mostra che
∞�
∞�
W = L(Bn) da cui W = L(Bn).
n=1
Siccome W è completo, grazie al Corollario 1.2, possiamo fissare n ≥ 1 tale che L(Bn) abbia interno
non vuoto. Segue che anche L(B1) ha interno non vuoto. Dunque esistono w0 ∈ W e r > 0 tali che
B ′ 2r(w0) ⊆ L(B1) . Ma −L(B1) = L(−B1) = L(B1) , per cui B ′ 2r(−w0) = −B ′ 2r(w0) ⊆ L(B1) . Infine,
siccome L(B1) è un convesso dato che B1 lo è, L è lineare e la chiusura di un convesso è convessa,
concludiamo che valgono le inclusioni B ′ 2r ⊆ co(B ′ 2r(w0) ∪ B ′ 2r(−w0)) ⊆ L(B1) con la notazione (I.4.1). Ciò
conclude la dimostrazione del punto i) .
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n=1
Gianni Gilardi