G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
Il prossimo risultato riguarda la convergenza del prodotto di dualità in ipotesi di convergenza
di tipo debole di ciascuno dei suoi argomenti. La questione non è oziosa in quanto, in generale
xn ⇀ x e fn ∗ ⇀ f non implicano che lim
n→∞ 〈fn, xn〉 = 〈f, x〉.
Basta infatti considerare il caso di una successione {en} ortonormale in uno spazio di Hilbert: essa
converge debolmente a 0 mentre (en, en) = 1 per ogni n . Per unificare i due casi che vengono
considerati nel risultato successivo, assumiamo che lo spazio di partenza sia comunque completo,
anche se la completezza è essenziale solo per una delle due conclusioni.
2.9. Corollario. Siano V uno spazio di Banach, {xn} una successione di elementi di V e {fn}
una successione di elementi di V ∗ . Se xn ⇀ x in V , fn ∗ ⇀ f in V ∗ e almeno una delle due
convergenze è forte, allora
lim
n→∞ 〈fn, xn〉 = 〈f, x〉.
Dimostrazione. Valgono le due catene di disuguaglianze
|〈fn, xn〉 − 〈f, x〉| ≤ |〈fn − f, xn〉| + |〈f, xn − x〉| ≤ �fn − f�∗ �xn� + |〈f, xn − x〉|
|〈fn, xn〉 − 〈f, x〉| ≤ |〈fn, xn − x〉| + |〈fn − f, x〉| ≤ �fn�∗ �xn − x� + |〈fn − f, x〉|
e l’ultimo termine di ciascuna di esse è infinitesimo per definizione di convergenza debole o debole*. Inoltre
le successioni delle norme di xn e di fn sono limitate grazie al Corollario 2.4 come conseguenza della
convergenza debole o debole*. Dunque, nei due casi di convergenza forte previsti dall’enunciato, è infinitesimo
l’intero ultimo membro dell’una o dell’altra catena di disuguaguaglianze.
La dimostrazione precedente ricalca quella fatta nella Sezione V.12.23 a proposito della verifica
della (V.12.19), per avere la quale abbiamo dimostrato che una delle convergenze era forte. Più in
generale, come conseguenza del corollario precedente, abbiamo quello presentato di seguito.
2.10. Corollario. Siano V uno spazio di Banach, f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria s.c.i., {xn} una successione di elementi di V e {ξn} una successione di elementi di V ∗
tali che ξn ∈ ∂f(xn) per ogni n . Se xn ⇀ x in V , ξn ∗ ⇀ ξ in V ∗ e almeno una delle due
convergenze è forte, allora ξ ∈ ∂f(x) .
Dimostrazione. Sia y ∈ V . Allora f(xn) + 〈ξn, y − xn〉 ≤ f(y) per ogni n e occorre passare al
limite. Il Corollario � 2.9 assicura che limn→∞〈ξn, y − xn〉 = 〈ξ, y − x〉 . Per l’Esercizio V.10.4 deduciamo che
f(xn) + 〈ξn, y − xn〉 � = lim infn→∞ f(xn) + 〈ξ, u − x〉 . D’altra parte f(x) ≤ lim infn→∞ f(xn)
lim infn→∞
per la s.c.i. Riunendo il tutto concludiamo che
f(x) + 〈ξ, u − x〉 ≤ lim inf
n→∞ f(xn)
�
+ 〈ξ, u − x〉 = lim inf f(xn) + 〈ξn, y − xn〉
n→∞
� ≤ f(y).
3. Il Teorema di Banach-Schauder dell’applicazione aperta
Con il termine applicazione aperta si intende un’applicazione da uno spazio topologico in un altro
che manda aperti in aperti, cioè che trasforma ogni aperto del dominio in un aperto del codominio.
Osserviamo subito che, se V e W sono spazi normati, ogni applicazione L ∈ Hom(V ; W ) aperta
è suriettiva. Infatti, se L è aperta, L(V ) è un aperto, e questo deve contenere l’origine dato che
L è lineare. Dunque L(V ) contiene una palla del tipo B = Br(0) di W . Sia ora w ∈ W . Scelto
ε > 0 tale che ε�w� < r , abbiamo εw ∈ B ⊆ L(V ) . Dunque esiste v ∈ V tale che Lv = εw . Ma
allora L(v/ε) = w .
Il risultato che ci accingiamo a presentare inverte questo fatto nell’ipotesi che V e W siano
completi e che L sia anche continua. Esso è chiamato spesso Teorema di Banach-Schauder in
quanto Schauder ha generalizzato una situazione particolare già trattata da Banach. Una sua
dimostrazione rapida utilizza il Lemma di Baire, più precisamente il Corollario 1.2. Premettiamo
un lemma e due esempi illustrativi.
Analisi Funzionale
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