G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
Dimostrazione. Sia {fn} una successione convergente debolmente* nel duale V ∗ di uno spazio di Banach
V . Consideriamo l’insieme S ∗ = {fn : n = 1, 2, . . .} , immagine della successione. Questo rientra
nella prima parte del Corollario 2.2 dato che, per ogni x ∈ V , la successione {〈fn, x〉} è limitata in quanto
convergente. Deduciamo che S ∗ è limitato in V ∗ , cioè che è limitata in V ∗ la successione data.
Sia ora {xn} una successione debolmente convergente in uno spazio normato V . Consideriamo l’insieme
S = {xn : n = 1, 2, . . .} , immagine della successione. Questo rientra nella seconda parte del Corollario 2.2
dato che, per ogni f ∈ V ∗ , la successione {〈f, xn〉} è limitata in quanto convergente. Deduciamo che S è
limitato, cioè che è limitata in V ∗ la successione data.
Più in generale, per quanto riguarda la convergenza debole*, abbiamo il risultato dimostrato
di seguito, nel quale l’appartenenza di f a V ∗ è nella tesi e non nell’ipotesi. Esso viene spesso
enunciato nella forma: se V è uno spazio di Banach, allora V ∗ è sequenzialmente completo rispetto
alla convergenza debole*. Infatti, data la completezza di K , la convergenza della successione di
scalari che compare nell’ipotesi equivale alla condizione di Cauchy. Ne deduciamo un risultato di
convergenza debole in spazi riflessivi che, per un motivo analogo, viene anche enunciato nella forma:
ogni spazio di Banach riflessivo è sequenzialmente completo rispetto alla convergenza debole.
2.5. Corollario. Siano V uno spazio di Banach e {fn} una successione di elementi di V ∗ tale
che per ogni v ∈ V la successione {〈fn, v〉} converga. Allora {fn} converge debolmente* in V ∗ .
Dimostrazione. Il candidato limite è il funzionale f definito dalla formula f(v) = limn→∞〈fn, v〉 per
v ∈ V , formula che ha senso per ipotesi. Allora f è lineare come subito si verifica. Controlliamo che
f ∈ V ∗ . Per ogni v ∈ V la successione {〈fn, v〉} è limitata in quanto convergente. Per il Teorema di
Banach-Steinhaus esiste una costante M ≥ 0 tale che |〈fn, v〉| ≤ M�v� per ogni v ∈ V e per ogni n .
Passando al limite si ha subito |f(v)| ≤ M�v� per ogni v ∈ V . Dunque f ∈ V ∗ e fn ∗ ⇀ f in V ∗ .
2.6. Corollario. Siano V uno spazio di Banach riflessivo e {vn} una successione di elementi
di V tale che per ogni f ∈ V ∗ la successione {〈f, vn〉} converga. Allora la successione {vn}
converge debolmente in V .
Dimostrazione. Detto J l’isomorfismo canonico, la successione {Jvn} è nelle ipotesi del Corollario 2.5
relativamente allo spazio di Banach V ∗ . Dunque essa converge debolmente* in V ∗∗ a un certo elemento
F ∈ V ∗∗ . Siccome V è riflessivo, abbiamo F = Jv per un certo v ∈ V e deduciamo che vn ⇀ v in V .
La completezza di V nel Teorema di Banach-Steinhaus e in ciascuna delle conseguenze che
abbiamo derivato è essenziale, come mostra l’esempio che ora costruiamo.
2.7. Esempio. Prendiamo V = C 0 [0, 1] munito della (restrizione della) norma � · �1 , così che
V non è completo, il suo completamento essendo L 1 (0, 1) . Per ogni n > 0 intero consideriamo
il funzionale lineare fn : V → R definito da fn(v) = √ n � 1/n
v(x) dx . Esso è continuo in quanto
0
|fn(v)| ≤ √ n�v�1 per ogni v ∈ V . Dunque fn ∈ V ∗ e �fn�∗ ≤ √ n . Più precisamente vale
l’uguaglianza, dato che la funzione vn definita da vn(x) = 2n(1 − nx) + appartiene a V e verifica
�vn�1 = 1 e 〈fn, vn〉 = √ n . In particolare la successione {fn} non è limitata in V ∗ . Ciò
nonostante {fn} converge a 0 in V ∗ in quanto
〈fn, v〉 = 1
� 1/n
� 1/n
√ v(x) dx e lim v(x) dx = v(0) per ogni v ∈ C
n
n→∞
0 [0, 1] .
0
0
2.8. Osservazione. Naturalmente la scelta dello spazio completo V = L 1 (0, 1) in sostituzione di
C 0 [0, 1] non avrebbe dato contraddizioni: con la definizione di fn formalmente identica avremmo
avuto ancora fn ∈ V ∗ e �fn�∗ = √ n , ma non la convergenza debole* dato che la successione
{〈fn, v〉} diverge se v è data da v(x) = x −1/4 (che ora appartiene a V ). Concludiamo in particolare
che, se V non è completo, sebbene i duali di V e del completamento siano identificabili in
modo canonico (vedi l’Esercizio III.3.9), le corrispondenti convergenze deboli* hanno un significato
diverso (il che pone un’ombra sul modo di dire convergenza debole* in V ∗ comunemente usato;
di fatto, nei due casi, V ∗ è dotato di due topologie). Si noti che la nuova fn è l’immagine tramite
la mappa di Riesz R1 : L ∞ (0, 1) → (L 1 (0, 1)) ∗ della funzione un ∈ L ∞ (0, 1) data da un(x) = √ n
se x < 1/n e un(x) = 0 altrove, la quale verifica appunto �un�∞ = √ n .
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Gianni Gilardi